+
편집 토론 역사 역링크 설정

유한 생성 가군

최근 수정 시각 : 2024-11-01 00:05:56 | 조회수 : 55
이 문서의 내용 중 전체 또는 일부는 오메가에서 가져왔으며 CC BY-NC-SA 3.0에 따라 이용할 수 있습니다.
본 문서의 원본은 링크에서 확인할 수 있습니다.

有限生成加群 / Finitely-generated module

유한 생성 가군이란 유한 개의 생성원을 갖는 가군을 말한다.

목차

1. 정의
2. 유한 계수의 자유 가군
3. PID 상의 유한 생성 가군
3.1. R이 PID일 때, 계수가 n인 자유 R-가군 M에 대해 M의 부분 가군 N 역시 자유 R-가군이고, 그 계수는 최대 n이다
3.1.1. 증명
4. 인터위키
5. 영상

1. 정의 ✎ ⊖

R−R-좌가군 MM의 임의의 원소 xx에 대해 x=r1a1+r2a2+...rnanx=r1a1+r2a2+...rnan를 만족하는 r1,r2,...,rn∈Rr1,r2,...,rn∈R이 존재하도록 하는 a1,a2,...,an∈Ma1,a2,...,an∈M이 존재하면, MM을 유한 생성 가군이라 하고 a1,a2,...,ana1,a2,...,an을 MM의 생성원, a1,a2,...,an{a1,a2,...,an}을 MM의 생성 집합이라 한다.

2. 유한 계수의 자유 가군 ✎ ⊖

RR이 가환환 일 때, 유한 생성 R−R-가군 MM의 생성 집합이 선형 독립이면 MM은 유한 계수의 자유 가군이 된다.

3. PID 상의 유한 생성 가군 ✎ ⊖

PID 상의 유한 생성 가군은 다음과 같은 몇 가지 성질을 가진다.

3.1. R이 PID일 때, 계수가 n인 자유 R-가군 M에 대해 M의 부분 가군 N 역시 자유 R-가군이고, 그 계수는 최대 n이다 ✎ ⊖

3.1.1. 증명 ✎ ⊖

수학적 귀납법을 사용하자. n=1n=1일 때, M≅RM≅R이므로 MM의 부분 가군 NN은 RR의 아이디얼로 생각할 수 있고, RR은 PID이므로 N=aRN=aR인 a∈Ra∈R가 존재한다.

만약 a=0a=0이면, N=0N=0이므로 계수가 0인 자유 R−R-가군이 된다.

a≠0a≠0이면,N≅RN≅R이므로 계수가 1인 자유 R−R-가군이 된다.

이제 n=kn=k일 때 위 명제가 성립한다고 가정하자. MM의 기저를 e1,e2,...,ek+1{e1,e2,...,ek+1}이라 하고, e1,e2,...,ek{e1,e2,...,ek}로 생성되는 자유 가군을 PP라고 하면 N∩PN∩P는 계수가 kk인 자유 가군의 PP의 부분군이므로 자유 가군이 된다. 만약 N=N∩PN=N∩P이라면 PP는 계수가 kk인 자유 가군이 된다.

N≠N∩PN≠N∩P이라면 NN을 NN의 ek+1ek+1 좌표로 보내는 사상 f:N→Rf:N→R의 상 im(f)im(f)는 RR의 0이 아닌 이데알이 되고, RR은 PID이므로 im(f)=bRim(f)=bR인 b∈Rb∈R가 존재한다.

f(y)=bf(y)=b인 NN의 원소를 yy라 하면 임의의 x∈N(f(x)=bc,c∈R)x∈N(f(x)=bc, c∈R)에 대해 x=cy+x−cyx=cy+x−cy으로 표현 가능하고 c∈R,x−cy∈N∩Pc∈R, x−cy∈N∩P이므로 N≅R⊕N∩PN≅R⊕N∩P, NN는 계수가 k+1k+1인 자유 가군이 된다.

4. 인터위키 ✎ ⊖

5. 영상 ✎ ⊖