有限生成加群 / Finitely-generated module
유한 생성 가군이란 유한 개의 생성원을 갖는 가군을 말한다.
목차
1. 정의
2. 유한 계수의 자유 가군
3. PID 상의 유한 생성 가군
3.1. R이 PID일 때, 계수가 n인 자유 R-가군 M에 대해 M의 부분 가군 N 역시 자유 R-가군이고, 그 계수는 최대 n이다
3.1.1. 증명
4. 인터위키
5. 영상
1. 정의
2. 유한 계수의 자유 가군
3. PID 상의 유한 생성 가군
3.1. R이 PID일 때, 계수가 n인 자유 R-가군 M에 대해 M의 부분 가군 N 역시 자유 R-가군이고, 그 계수는 최대 n이다
3.1.1. 증명
4. 인터위키
5. 영상
1. 정의 ✎ ⊖
R-좌가군 M의 임의의 원소 x에 대해 x=r1a1+r2a2+...rnan를 만족하는 r1,r2,...,rn∈R이 존재하도록 하는 a1,a2,...,an∈M이 존재하면, M을 유한 생성 가군이라 하고 a1,a2,...,an을 M의 생성원, {a1,a2,...,an}을 M의 생성 집합이라 한다.
2. 유한 계수의 자유 가군 ✎ ⊖
R이 가환환 일 때, 유한 생성 R-가군 M의 생성 집합이 선형 독립이면 M은 유한 계수의 자유 가군이 된다.
3. PID 상의 유한 생성 가군 ✎ ⊖
PID 상의 유한 생성 가군은 다음과 같은 몇 가지 성질을 가진다.
3.1. R이 PID일 때, 계수가 n인 자유 R-가군 M에 대해 M의 부분 가군 N 역시 자유 R-가군이고, 그 계수는 최대 n이다 ✎ ⊖
3.1.1. 증명 ✎ ⊖
수학적 귀납법을 사용하자. n=1일 때, M≅R이므로 M의 부분 가군 N은 R의 아이디얼로 생각할 수 있고, R은 PID이므로 N=aR인 a∈R가 존재한다.
만약 a=0이면, N=0이므로 계수가 0인 자유 R-가군이 된다.
a≠0이면,N≅R이므로 계수가 1인 자유 R-가군이 된다.
이제 n=k일 때 위 명제가 성립한다고 가정하자. M의 기저를 {e1,e2,...,ek+1}이라 하고, {e1,e2,...,ek}로 생성되는 자유 가군을 P라고 하면 N∩P는 계수가 k인 자유 가군의 P의 부분군이므로 자유 가군이 된다. 만약 N=N∩P이라면 P는 계수가 k인 자유 가군이 된다.
N≠N∩P이라면 N을 N의 ek+1 좌표로 보내는 사상 f:N→R의 상 im(f)는 R의 0이 아닌 이데알이 되고, R은 PID이므로 im(f)=bR인 b∈R가 존재한다.
f(y)=b인 N의 원소를 y라 하면 임의의 x∈N(f(x)=bc, c∈R)에 대해 x=cy+x−cy으로 표현 가능하고 c∈R, x−cy∈N∩P이므로 N≅R⊕N∩P, N는 계수가 k+1인 자유 가군이 된다.
만약 a=0이면, N=0이므로 계수가 0인 자유 R-가군이 된다.
a≠0이면,N≅R이므로 계수가 1인 자유 R-가군이 된다.
이제 n=k일 때 위 명제가 성립한다고 가정하자. M의 기저를 {e1,e2,...,ek+1}이라 하고, {e1,e2,...,ek}로 생성되는 자유 가군을 P라고 하면 N∩P는 계수가 k인 자유 가군의 P의 부분군이므로 자유 가군이 된다. 만약 N=N∩P이라면 P는 계수가 k인 자유 가군이 된다.
N≠N∩P이라면 N을 N의 ek+1 좌표로 보내는 사상 f:N→R의 상 im(f)는 R의 0이 아닌 이데알이 되고, R은 PID이므로 im(f)=bR인 b∈R가 존재한다.
f(y)=b인 N의 원소를 y라 하면 임의의 x∈N(f(x)=bc, c∈R)에 대해 x=cy+x−cy으로 표현 가능하고 c∈R, x−cy∈N∩P이므로 N≅R⊕N∩P, N는 계수가 k+1인 자유 가군이 된다.
