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Pick's Theorem
격자점 위에서 다각형의 넓이를 구하는 공식을 말한다. 격자점 위에 그려진 다각형에 대해 내부의 격자점의 개수를 n_{in}, 다각형의 변 위에 있는 격자점의 개수(꼭짓점 포함)를 n_{bd}라고 하면 그 넓이는 n_{in}+\\frac{1}{2}n_{bd}-1와 같다.
1. 증명 ✎ ⊖
내부와 변 위에 격자점이 없는 삼각형을 생각하자. 이 삼각형의 두 변을 \\langle a_1, a_2 \\rangle, \\langle b_1, b_2 \\rangle 라 하면 이를 이웃한 두 변으로 가지는 평행사변형을 생각할 수 있다. 평행사변형으로 평면을 겹치지 않게 모두 덮을 수 있으므로 \\{\\langle a_1, a_2 \\rangle, \\langle b_1, b_2 \\rangle\\}는 \\Bbb{Z}^2의 기저이다. 따라서 \\mathbf{X}=\\begin{pmatrix} a_1 & b_1\\\\ a_2 & b_2 \\end{pmatrix}라 하면 \\mathbf{X}^{-1}의 모든 원소는 정수이므로 |\\mathbf{X}|=1이다. 그러므로 위에서 언급한 삼각형의 넓이는 \\frac{1}{2}|\\mathbf{X}|=\\frac{1}{2}이다.
격자점 위에 그려진 다각형을 변 위의 격자점들과 내부의 격자점들이 모두 적어도 한번씩 꼭짓점으로 쓰이도록 삼각형으로 분할하자(분할의 존재성은 귀납적으로 쉽게 증명된다). 이렇게 생성된 그래프(1)의 면의 개수를 f라 하면, 다각형의 넓이 A=\\frac{1}{2}(f-1)이다(각 삼각형의 넓이가 \\frac{1}{2}임은 위에서 보였다).
그래프와 외부영역의 경계에 있는 변의 개수를 e_{bd}, 내부에 있는 변의 개수를 e_{in}이라 하자. e_{bd}개의 변은 한 개의 삼각형, e_{in}개의 변은 두 개의 삼각형에 사용되므로 3(f-1)=e_{bd}+2e_{in}이다. 즉 오일러의 공식을 적용하면 f-1=e_{bd}+2e_{in}-2f+2=2(e-f)-n_{bd}+2=2(n-2)-n_{bd}+2=2n_{in}+n_{bd}-2이므로 원하는 결과를 얻는다.
격자점 위에 그려진 다각형을 변 위의 격자점들과 내부의 격자점들이 모두 적어도 한번씩 꼭짓점으로 쓰이도록 삼각형으로 분할하자(분할의 존재성은 귀납적으로 쉽게 증명된다). 이렇게 생성된 그래프(1)의 면의 개수를 f라 하면, 다각형의 넓이 A=\\frac{1}{2}(f-1)이다(각 삼각형의 넓이가 \\frac{1}{2}임은 위에서 보였다).
그래프와 외부영역의 경계에 있는 변의 개수를 e_{bd}, 내부에 있는 변의 개수를 e_{in}이라 하자. e_{bd}개의 변은 한 개의 삼각형, e_{in}개의 변은 두 개의 삼각형에 사용되므로 3(f-1)=e_{bd}+2e_{in}이다. 즉 오일러의 공식을 적용하면 f-1=e_{bd}+2e_{in}-2f+2=2(e-f)-n_{bd}+2=2(n-2)-n_{bd}+2=2n_{in}+n_{bd}-2이므로 원하는 결과를 얻는다.
2. 교육 ✎ ⊖
이 정리는 영재성 교육 자료와 관련되어 많이 등장하지만 정작 그 증명은 다루지 않을 때가 많다. 아마 정리와 같이 고무줄을 못에 걸어 이런저런 다각형을 만드는 활동을 하지 않을까 생각한다.
