가우스 합 (편집) - 시드위키

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수론에서 '''가우스 합'''(Gauss sum, Gaussian sum) [math(G(\chi))] ([math(\tau(\chi),\ \tau_\chi)])는 디리클레 지표에 대한 일종의 합으로, 곱셈적 함수인 [math(\chi)]에 대한 문제를 덧셈적 함수인 [math(e(\, \cdot\, ))]에 대한 문제로 바꿔준다.

== 정의 ==
법 [math(q)]에서의 디리클레 지표 [math(\chi)]에 대해 가우스 합 [math(G(\chi))]은 다음과 같이 정의된다.

[math(G(\chi)=\sum_{a=1}^q\chi(a)e^{2\pi ia/q}=\sum_{a=1}^q\chi(a)e\left(\frac aq\right))]

여기서 [math(e)]는 [math(e(x)=\exp(2\pi ix))]와 같이 정의되는 함수이다.

가우스 합은 [math(\displaystyle c_\chi(n)=\sum_{a=1}^q\chi(a)e\left({an\over q}\right))]에서 [math(n=1)]인 특별한 경우이다. 비슷한 형태를 띠고 있는 라마누잔의 합은 주 지표 [math(\chi_0)]에 대해 [math(c_{\chi_0}(n))]으로 정의된다.

== 성질 ==
이하에서 [math(\chi,\chi_1,\chi_2)]는 각각 법 [math(q,q_1,q_2)]에 대한 디리클레 지표이다.

* [math((n,q)=1)]일 때 [math(\chi(n)G(\bar\chi)=\sum_{a=1}^q \bar\chi(a)e\left({an\over q}\right))] 특히, [math(\overline{G(\chi)}=\chi(-1)G(\bar\chi))]
* [math(G(\chi)=G(\chi_1)G(\chi_2)\chi_1(q_2)\chi_2(q_1))]
* [math(\chi)]가 원시지표일 때, [math(\chi(n)G(\bar\chi)=\sum_{a=1}^q \bar\chi(a)e\left({an\over q}\right))] 특히, [math(|G(\chi)|=\sqrt q)]

== 이차 가우스 합 ==
이차 가우스 합(quadratic Gauss sum) [math(G(k;n))]는 정수 [math(k)],[math(n)]에 대해 다음과 같이 정의된다.

[math(G(k;n)=\sum_{r=1}^n e^{2\pi ikr^2n})]

== 보기 ==
* 이차 가우스 합 [math(G(k;n))]
* 라마누잔의 합 [math(c_q(n))]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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