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수론에서 가우스 합(Gauss sum, Gaussian sum) G(\\chi) (\\tau(\\chi),\\ \\tau_\\chi)는 디리클레 지표에 대한 일종의 합으로, 곱셈적 함수인 \\chi에 대한 문제를 덧셈적 함수인 e(\\, \\cdot\\, )에 대한 문제로 바꿔준다.
1. 정의 ✎ ⊖
법 q에서의 디리클레 지표 \\chi에 대해 가우스 합 G(\\chi)은 다음과 같이 정의된다.
G(\\chi)=\\sum_{a=1}^q\\chi(a)e^{2\\pi ia/q}=\\sum_{a=1}^q\\chi(a)e\\left(\\frac aq\\right)
여기서 e는 e(x)=\\exp(2\\pi ix)와 같이 정의되는 함수이다.
가우스 합은 \\displaystyle c_\\chi(n)=\\sum_{a=1}^q\\chi(a)e\\left({an\\over q}\\right)에서 n=1인 특별한 경우이다. 비슷한 형태를 띠고 있는 라마누잔의 합은 주 지표 \\chi_0에 대해 c_{\\chi_0}(n)으로 정의된다.
G(\\chi)=\\sum_{a=1}^q\\chi(a)e^{2\\pi ia/q}=\\sum_{a=1}^q\\chi(a)e\\left(\\frac aq\\right)
여기서 e는 e(x)=\\exp(2\\pi ix)와 같이 정의되는 함수이다.
가우스 합은 \\displaystyle c_\\chi(n)=\\sum_{a=1}^q\\chi(a)e\\left({an\\over q}\\right)에서 n=1인 특별한 경우이다. 비슷한 형태를 띠고 있는 라마누잔의 합은 주 지표 \\chi_0에 대해 c_{\\chi_0}(n)으로 정의된다.
2. 성질 ✎ ⊖
이하에서 \\chi,\\chi_1,\\chi_2는 각각 법 q,q_1,q_2에 대한 디리클레 지표이다.
- (n,q)=1일 때 \\chi(n)G(\\bar\\chi)=\\sum_{a=1}^q \\bar\\chi(a)e\\left({an\\over q}\\right) 특히, \\overline{G(\\chi)}=\\chi(-1)G(\\bar\\chi)
- G(\\chi)=G(\\chi_1)G(\\chi_2)\\chi_1(q_2)\\chi_2(q_1)
- \\chi가 원시지표일 때, \\chi(n)G(\\bar\\chi)=\\sum_{a=1}^q \\bar\\chi(a)e\\left({an\\over q}\\right) 특히, |G(\\chi)|=\\sqrt q
3. 이차 가우스 합 ✎ ⊖
이차 가우스 합(quadratic Gauss sum) G(k;n)는 정수 k,n에 대해 다음과 같이 정의된다.
G(k;n)=\\sum_{r=1}^n e^{2\\pi ikr^2n}
G(k;n)=\\sum_{r=1}^n e^{2\\pi ikr^2n}
