곱집합 (편집) - 시드위키

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Cartesian product, Product set

집합들 간의 연산 중 하나이다.

== 정의 ==
집합 [math(A)], [math(B)]가 주어져 있을 때 [math(A)], [math(B)]의 곱집합은 다음과 같이 정의된다:

[math(A\times B = \{(x,y)\mid x\in A \text{ and } y\in B\})]

== 예시 ==
[math({A, B, C})] [math(\times)] [math({D, E}={(A, D), (A, E), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E)})]

== 곱집합의 존재성 ==
체르멜로-프렌켈 집합론에서는 다음과 같은 방식으로 곱집합의 존재성이 보여진다 : 일반적으로, 순서쌍 [math((a,b))]은 다음과 같은 집합으로 정의된다:

[math((a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\})]

따라서, 곱집합들의 집합이 존재한다면 [math(\mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B)))]의 부분집합이여야 한다. 그리고 [math(\mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B)))]의 존재성은 멱집합 공리와 합집합 공리에 의해 보장된다. 그리고 분리공리꼴에 의해

[math(\{X\in \mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B)) \mid \exists a\exists b : (a\in A)\land (b\in B)\land (X=\{\{a\},\{a,b\}\})\})]

라는 집합은 잘 정의된다. 그리고 위의 집합은 우리들이 아는 곱집합과 일치한다.

== 임의 개의 집합에서의 곱집합 ==
임의 집합에서는 순서쌍 대신 함수를 이용해서 곱집합을 정의할 수 있다. 이는 순서쌍을 [math(\{0,1\})]을 정의역으로 하는 함수로 간주할 수 있다는 데에서 기인한다. (가령, [math((a,b))]는 [math(f:\{0,1\}\to \{a,b\})], [math(f(0)=a)], [math(f(1)=b)] 인 경우로 간주할 수 있다.)

[math(\left<A_\alpha\right>_{\alpha\in I})]을 [math(I)]에 의해 첨수 매겨진 집합족이라 하자. 이 때 곱집합 [math(\prod_{\alpha\in I}A_\alpha)]를

[math(\prod_{\alpha\in I}A_\alpha = \{f: I \to \bigcup_{i\in I} A_i \mid f(\alpha)\in A_\alpha\})]

으로 정의한다. 특히 임의의 [math(i\in I)]에 대해 [math(A_i=A)]인 경우에는 [math(\prod_{i\in I}A_i)]를 [math(A^I)]로 나타내기도 한다.

임의 개수의 집합의 곱집합이 공집합이 아니란 것은 선택공리와 동치이다.

== 영상 ==
[youtube(xuBmHoBFIjA)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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