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Cartesian product, Product set
집합들 간의 연산 중 하나이다.
1. 정의 ✎ ⊖
집합 A, B가 주어져 있을 때 A, B의 곱집합은 다음과 같이 정의된다:
A\\times B = \\{(x,y)\\mid x\\in A \\text{ and } y\\in B\\}
A\\times B = \\{(x,y)\\mid x\\in A \\text{ and } y\\in B\\}
2. 예시 ✎ ⊖
{A, B, C} \\times {D, E}={(A, D), (A, E), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E)}
3. 곱집합의 존재성 ✎ ⊖
체르멜로-프렌켈 집합론에서는 다음과 같은 방식으로 곱집합의 존재성이 보여진다 : 일반적으로, 순서쌍 (a,b)은 다음과 같은 집합으로 정의된다:
(a,b)=\\{\\{a\\},\\{a,b\\}\\}
따라서, 곱집합들의 집합이 존재한다면 \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A\\cup B))의 부분집합이여야 한다. 그리고 \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A\\cup B))의 존재성은 멱집합 공리와 합집합 공리에 의해 보장된다. 그리고 분리공리꼴에 의해
\\{X\\in \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A\\cup B)) \\mid \\exists a\\exists b : (a\\in A)\\land (b\\in B)\\land (X=\\{\\{a\\},\\{a,b\\}\\})\\}
라는 집합은 잘 정의된다. 그리고 위의 집합은 우리들이 아는 곱집합과 일치한다.
(a,b)=\\{\\{a\\},\\{a,b\\}\\}
따라서, 곱집합들의 집합이 존재한다면 \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A\\cup B))의 부분집합이여야 한다. 그리고 \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A\\cup B))의 존재성은 멱집합 공리와 합집합 공리에 의해 보장된다. 그리고 분리공리꼴에 의해
\\{X\\in \\mathcal{P}(\\mathcal{P}(A\\cup B)) \\mid \\exists a\\exists b : (a\\in A)\\land (b\\in B)\\land (X=\\{\\{a\\},\\{a,b\\}\\})\\}
라는 집합은 잘 정의된다. 그리고 위의 집합은 우리들이 아는 곱집합과 일치한다.
4. 임의 개의 집합에서의 곱집합 ✎ ⊖
임의 집합에서는 순서쌍 대신 함수를 이용해서 곱집합을 정의할 수 있다. 이는 순서쌍을 \\{0,1\\}을 정의역으로 하는 함수로 간주할 수 있다는 데에서 기인한다. (가령, (a,b)는 f:\\{0,1\\}\\to \\{a,b\\}, f(0)=a, f(1)=b 인 경우로 간주할 수 있다.)
\\left<A_\\alpha\\right>_{\\alpha\\in I}을 I에 의해 첨수 매겨진 집합족이라 하자. 이 때 곱집합 \\prod_{\\alpha\\in I}A_\\alpha를
\\prod_{\\alpha\\in I}A_\\alpha = \\{f: I \\to \\bigcup_{i\\in I} A_i \\mid f(\\alpha)\\in A_\\alpha\\}
으로 정의한다. 특히 임의의 i\\in I에 대해 A_i=A인 경우에는 \\prod_{i\\in I}A_i를 A^I로 나타내기도 한다.
임의 개수의 집합의 곱집합이 공집합이 아니란 것은 선택공리와 동치이다.
\\left<A_\\alpha\\right>_{\\alpha\\in I}을 I에 의해 첨수 매겨진 집합족이라 하자. 이 때 곱집합 \\prod_{\\alpha\\in I}A_\\alpha를
\\prod_{\\alpha\\in I}A_\\alpha = \\{f: I \\to \\bigcup_{i\\in I} A_i \\mid f(\\alpha)\\in A_\\alpha\\}
으로 정의한다. 특히 임의의 i\\in I에 대해 A_i=A인 경우에는 \\prod_{i\\in I}A_i를 A^I로 나타내기도 한다.
임의 개수의 집합의 곱집합이 공집합이 아니란 것은 선택공리와 동치이다.
