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곱집합
(편집) (4)
(편집 필터 규칙)
802,1389
== 임의 개의 집합에서의 곱집합 == 임의 집합에서는 순서쌍 대신 함수를 이용해서 곱집합을 정의할 수 있다. 이는 순서쌍을 [math(\{0,1\})]을 정의역으로 하는 함수로 간주할 수 있다는 데에서 기인한다. (가령, [math((a,b))]는 [math(f:\{0,1\}\to \{a,b\})], [math(f(0)=a)], [math(f(1)=b)] 인 경우로 간주할 수 있다.) [math(\left<A_\alpha\right>_{\alpha\in I})]을 [math(I)]에 의해 첨수 매겨진 집합족이라 하자. 이 때 곱집합 [math(\prod_{\alpha\in I}A_\alpha)]를 [math(\prod_{\alpha\in I}A_\alpha = \{f: I \to \bigcup_{i\in I} A_i \mid f(\alpha)\in A_\alpha\})] 으로 정의한다. 특히 임의의 [math(i\in I)]에 대해 [math(A_i=A)]인 경우에는 [math(\prod_{i\in I}A_i)]를 [math(A^I)]로 나타내기도 한다. 임의 개수의 집합의 곱집합이 공집합이 아니란 것은 선택공리와 동치이다.
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== 임의 개의 집합에서의 곱집합 == 임의 집합에서는 순서쌍 대신 함수를 이용해서 곱집합을 정의할 수 있다. 이는 순서쌍을 [math(\{0,1\})]을 정의역으로 하는 함수로 간주할 수 있다는 데에서 기인한다. (가령, [math((a,b))]는 [math(f:\{0,1\}\to \{a,b\})], [math(f(0)=a)], [math(f(1)=b)] 인 경우로 간주할 수 있다.) [math(\left<A_\alpha\right>_{\alpha\in I})]을 [math(I)]에 의해 첨수 매겨진 집합족이라 하자. 이 때 곱집합 [math(\prod_{\alpha\in I}A_\alpha)]를 [math(\prod_{\alpha\in I}A_\alpha = \{f: I \to \bigcup_{i\in I} A_i \mid f(\alpha)\in A_\alpha\})] 으로 정의한다. 특히 임의의 [math(i\in I)]에 대해 [math(A_i=A)]인 경우에는 [math(\prod_{i\in I}A_i)]를 [math(A^I)]로 나타내기도 한다. 임의 개수의 집합의 곱집합이 공집합이 아니란 것은 선택공리와 동치이다.
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