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공집합을 포함하지 않는 임의의 집합족의 곱집합은 공집합이 아니다
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[[분류:가져온 문서/오메가]] == 진술 == [math(\{X_\alpha\}_{\alpha\in I})]가 공집합이 아닌 집합족이라 했을 때 [math(\prod_{\alpha\in I} X_\alpha)]는 공집합이 아니다. == 증명 == 선택공리를 가정하자. 그러면 수열 [math(\left< x_\alpha\right>_{\alpha\in I})]가 존재해 임의의 [math(\alpha)]에 대해 [math(x_\alpha\in X_\alpha)]이다. 이 때 [math(\left< x_\alpha\right>_{\alpha\in I} \in \prod X_\alpha)]이다. == 선택공리와의 관계 == 주어진 명제는 선택공리와 동치이고, 이는 꽤 자명하게 보여진다. [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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[[분류:가져온 문서/오메가]] == 진술 == [math(\{X_\alpha\}_{\alpha\in I})]가 공집합이 아닌 집합족이라 했을 때 [math(\prod_{\alpha\in I} X_\alpha)]는 공집합이 아니다. == 증명 == 선택공리를 가정하자. 그러면 수열 [math(\left< x_\alpha\right>_{\alpha\in I})]가 존재해 임의의 [math(\alpha)]에 대해 [math(x_\alpha\in X_\alpha)]이다. 이 때 [math(\left< x_\alpha\right>_{\alpha\in I} \in \prod X_\alpha)]이다. == 선택공리와의 관계 == 주어진 명제는 선택공리와 동치이고, 이는 꽤 자명하게 보여진다. [Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
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