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공집합을 포함하지 않는 임의의 집합족의 곱집합은 공집합이 아니다

최근 수정 시각 : 2023-04-22 20:30:36 | 조회수 : 92

목차

1. 진술
2. 증명
3. 선택공리와의 관계

1. 진술 _{✎ ⊖}

\\{X_\\alpha\\}_{\\alpha\\in I}가 공집합이 아닌 집합족이라 했을 때 \\prod_{\\alpha\\in I} X_\\alpha는 공집합이 아니다.

2. 증명 _{✎ ⊖}

선택공리를 가정하자. 그러면 수열 \\left< x_\\alpha\\right>_{\\alpha\\in I}가 존재해 임의의 \\alpha에 대해 x_\\alpha\\in X_\\alpha이다. 이 때 \\left< x_\\alpha\\right>_{\\alpha\\in I} \\in \\prod X_\\alpha이다.

3. 선택공리와의 관계 _{✎ ⊖}

주어진 명제는 선택공리와 동치이고, 이는 꽤 자명하게 보여진다.

공집합을 포함하지 않는 임의의 집합족의 곱집합은 공집합이 아니다

1. 진술 ✎ ⊖

2. 증명 ✎ ⊖

3. 선택공리와의 관계 ✎ ⊖

1. 진술 _{✎ ⊖}

2. 증명 _{✎ ⊖}

3. 선택공리와의 관계 _{✎ ⊖}