군 동형사상 (편집)

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군 동형사상(Group isomorphism)이란 두 군간의 군 구조를 완벽히 보존하는 사상을 가리킨다. 두 군간의 동형사상이 존재한다면 두 군은 군론적으로는 구분될 수 없으며, 따라서 두 군을 완벽히 같다고 간주할 수 있다.

== 정의 ==
군 [math(G,H)] 사이의 군 준동형사상 [math(f)]가 군 동형사상이란 것은 [math(f)]가 [math(G)]에서 [math(H)]로 가는 전단사가 되는 경우를 말한다. 좀 더 형식적으로 말하자면, 다음 둘을 충족시키는 함수를 말한다:

1. [math(f)]는 군 준동형사상이다. 즉, [math(f(xy)=f(x)f(y))]를 만족한다.
　2. [math(f)]는 전단사이다.

이 두 가지를 만족할 때 [math(f)]를 동형사상(isomorphism)이라고 하고 [math(G)]와 [math(H)]를 동형(isomorphic)이라고 하며 이를 [math(G≅H)]로 나타낸다.

== 성질 ==
* 군 [math(G)]의 항등사상 [math(1G:G→G)]은 (자기)동형사상이다.
* [math(f:G→H)]가 동형사상이면 [math(f^{-1})]도 동형사상이다.
  * [math(f^{-1}(a)=a',f^{-1}(b)=b' (a,b∈G))]라 하면 [math(f(a'⋅b')=a'⋅b')] 이므로 [math(f^{-1})]은 동형사상이다.

== 예제 ==
* 임의의 순환군은 적당한 소수 [math(p)]가 있어서 [math(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})] 과 동형이거나 [math(\Bbb{Z})]하고 동형이 된다.
* 어떤 유리수계수 [math(n)]차방정식의 갈루아 군은 최고 [math(S_n)]이라는 대칭군하고 동형이 될 수 있다.
* 모든 유한단순군 (원소의 갯수가 유한이고 자기 자신과 자명군 이외의 정규부분군을 가지지 않는 군)은 유한단순군에 있는 단순군들 중 하나와 동형이 된다.
* 벡터공간을 [[아벨 군]]으로 생각했을 때 모든 유한차원 [math(\Bbb{R})]-벡터공간은 적당한 자연수 [math(n)]이 있어서 [math(\Bbb{R^n})]하고 동형이 된다.[* 벡터공간에서의 동형도 된다.]

== 영상 ==
[youtube(uaP4svQNpZc)]

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160315204400/http://mathwiki.net/%EA%B5%B0_%EB%8F%99%ED%98%95%EC%82%AC%EC%83%81|링크]])]

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1. [math(f)]는 군 준동형사상이다. 즉, [math(f(xy)=f(x)f(y))]를 만족한다.
　2. [math(f)]는 전단사이다.

이 두 가지를 만족할 때 [math(f)]를 동형사상(isomorphism)이라고 하고 [math(G)]와 [math(H)]를 동형(isomorphic)이라고 하며 이를 [math(G≅H)]로 나타낸다.

== 영상 ==
[youtube(uaP4svQNpZc)]

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