군 동형사상

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군 동형사상(Group isomorphism)이란 두 군간의 군 구조를 완벽히 보존하는 사상을 가리킨다. 두 군간의 동형사상이 존재한다면 두 군은 군론적으로는 구분될 수 없으며, 따라서 두 군을 완벽히 같다고 간주할 수 있다.

목차

1. 정의
2. 성질
3. 예제
4. 영상

1. 정의 _{✎ ⊖}

군 G,H 사이의 군 준동형사상 f가 군 동형사상이란 것은 f가 G에서 H로 가는 전단사가 되는 경우를 말한다. 좀 더 형식적으로 말하자면, 다음 둘을 충족시키는 함수를 말한다:

　1. f는 군 준동형사상이다. 즉, f(xy)=f(x)f(y)를 만족한다.
　2. f는 전단사이다.

이 두 가지를 만족할 때 f를 동형사상(isomorphism)이라고 하고 G와 H를 동형(isomorphic)이라고 하며 이를 G≅H로 나타낸다.

2. 성질 _{✎ ⊖}

군 G의 항등사상 1G:G→G은 (자기)동형사상이다.
f:G→H가 동형사상이면 f^{-1}도 동형사상이다.
f^{-1}(a)=a',f^{-1}(b)=b' (a,b∈G)라 하면 f(a'⋅b')=a'⋅b' 이므로 f^{-1}은 동형사상이다.

3. 예제 _{✎ ⊖}

임의의 순환군은 적당한 소수 p가 있어서 \\Bbb{Z}/p\\Bbb{Z} 과 동형이거나 \\Bbb{Z}하고 동형이 된다.
어떤 유리수계수 n차방정식의 갈루아 군은 최고 S_n이라는 대칭군하고 동형이 될 수 있다.
모든 유한단순군 (원소의 갯수가 유한이고 자기 자신과 자명군 이외의 정규부분군을 가지지 않는 군)은 유한단순군에 있는 단순군들 중 하나와 동형이 된다.
벡터공간을 아벨 군으로 생각했을 때 모든 유한차원 \\Bbb{R}-벡터공간은 적당한 자연수 n이 있어서 \\Bbb{R^n}하고 동형이 된다.⁽¹⁾

4. 영상 _{✎ ⊖}

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(1) 벡터공간에서의 동형도 된다.

1. 정의 ✎ ⊖

2. 성질 ✎ ⊖

3. 예제 ✎ ⊖

4. 영상 ✎ ⊖

1. 정의 _{✎ ⊖}

2. 성질 _{✎ ⊖}

3. 예제 _{✎ ⊖}

4. 영상 _{✎ ⊖}