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아벨 군(Abelian group) 또는 가환군(可換群, Commutative group)은 연산에 대한 교환법칙이 성립하는 군을 말한다. 교환법칙이 성립하지 않는 군은 비가환군(非可換群, non-commutative group, non-abelian group)이라고 한다.
1. 정의 ✎ ⊖
군 (G,⋅)이 교환법칙
∀a∀b:a⋅b=b⋅a
을 만족하면 G를 아벨 군이라고 한다.
∀a∀b:a⋅b=b⋅a
을 만족하면 G를 아벨 군이라고 한다.
2. 표기 ✎ ⊖
아벨 군의 연산은 대부분 덧셈(+)으로 표기한다. 따라서 문맥을 통해 연산을 알 수 있으면 기호를 생략할 수 있다. 또한 가법군과 승법군은 별도의 표시 없이 아벨 군인 경우가 많다.
3. 예시 ✎ ⊖
- 자명군
- 정수군
- 임의의 순환군
4. 유한 생성 아벨군 ✎ ⊖
유한 개의 생성원을 갖는 아벨군을 유한 생성 아벨군이라고 한다. 유한 생성 아벨군은 유한 생성 Z-가군으로, 유한 개의 정수 집합들과 유한 개의 순환군들의 직합으로 표현 가능하다. 이 때, 정수 집합들의 개수를 유한 생성 아벨군의 계수(rank)라고 하고, 유한 생성 Z-가군의 꼬임 부분 가군을 꼬임 부분군(torsion subgroup)이라고 한다.
