군 코호몰로지 (편집)

[[분류:가져온 문서/오메가]]
Group cohomology

[[군]]과 이것의 모듈을 대상으로 한 코호몰로지이다.

== 정의 ==
[math(G)]가 군이면 [math(G)]-module [math(M)]을 [[아벨 군]]이면서 [math(G)]가 왼쪽에서 act하는 것이라 하자.

먼저 [math(\cdots\to P_3\to P_2\to P_1\to \Bbb{Z}\to 0)]이라는 사영 [math(\Bbb{Z}[G])]-분해를 생각하자. 그러면 여기에 Hom functor를 씌우는 것으로 [math(\text{Hom}(-,M))]은 반변 함수자이므로

[math(0\to \text{Hom}_{G}(\Bbb{Z},M)\to \text{Hom}_{G}(P_1,M)\to \text{Hom}_{G}(P_2,M)\to \text{Hom}_{G}(P_3,M)\to \cdots)]

라는 공사슬 복합체를 만들 수 있다. 이를 [math(K)]라고 하자. 여기에서 [math(\Bbb{Z}[G])]는 [math(G)]의 군화이다. 이제 [math(n)]번째 군 코모홀로지를

[math(H^n(G,M):=H^n(K))]

라고 하자. 이는 위에서 잡은 모든 사영분해에 대해서 동형이라는 관점에서 유일하다.

== 간단한 성질 ==
다음이 성립한다. \[H^0(G,M)=M^{G}:=\{a\in M:\sigma a=a\;\text{for all}\,\sigma\in G\}\] 그리고 [math(0\to A\to B\to C\to 0)]이 [math(G)]-modules의 짧은 완전열일 때

[math(0\to H^0(G,A)\to H^0(G,A)\to H^0(G,C)\to H^1(G,A)\to H^1(G,B)\to H^1(G,C)\to H^2(G,A)\to H^2(G,B)\to H^2(G,C)\to\cdots)]

가 긴 완전열이 될 수 있다. 그 외에도 [math(M^G=M)]이면 정의에 의해서 [math(H^1(G,M)=\text{Hom}(G,M))]이 된다.

이는 정의에 의해서 Ext functor의 특수한 경우로 볼 수 있고 [math(H^n(G,M)=\text{Ext}^n_{\Bbb{Z}[G]}(\Bbb{Z},M))]라고 할 수 있다.

== 영상 ==
[youtube(7Fm9ajxgZQc)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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