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Group cohomology
군과 이것의 모듈을 대상으로 한 코호몰로지이다.
1. 정의 ✎ ⊖
G가 군이면 G-module M을 아벨 군이면서 G가 왼쪽에서 act하는 것이라 하자.
먼저 \\cdots\\to P_3\\to P_2\\to P_1\\to \\Bbb{Z}\\to 0이라는 사영 \\Bbb{Z}[G]-분해를 생각하자. 그러면 여기에 Hom functor를 씌우는 것으로 \\text{Hom}(-,M)은 반변 함수자이므로
0\\to \\text{Hom}_{G}(\\Bbb{Z},M)\\to \\text{Hom}_{G}(P_1,M)\\to \\text{Hom}_{G}(P_2,M)\\to \\text{Hom}_{G}(P_3,M)\\to \\cdots
라는 공사슬 복합체를 만들 수 있다. 이를 K라고 하자. 여기에서 \\Bbb{Z}[G]는 G의 군화이다. 이제 n번째 군 코모홀로지를
H^n(G,M):=H^n(K)
라고 하자. 이는 위에서 잡은 모든 사영분해에 대해서 동형이라는 관점에서 유일하다.
먼저 \\cdots\\to P_3\\to P_2\\to P_1\\to \\Bbb{Z}\\to 0이라는 사영 \\Bbb{Z}[G]-분해를 생각하자. 그러면 여기에 Hom functor를 씌우는 것으로 \\text{Hom}(-,M)은 반변 함수자이므로
0\\to \\text{Hom}_{G}(\\Bbb{Z},M)\\to \\text{Hom}_{G}(P_1,M)\\to \\text{Hom}_{G}(P_2,M)\\to \\text{Hom}_{G}(P_3,M)\\to \\cdots
라는 공사슬 복합체를 만들 수 있다. 이를 K라고 하자. 여기에서 \\Bbb{Z}[G]는 G의 군화이다. 이제 n번째 군 코모홀로지를
H^n(G,M):=H^n(K)
라고 하자. 이는 위에서 잡은 모든 사영분해에 대해서 동형이라는 관점에서 유일하다.
2. 간단한 성질 ✎ ⊖
다음이 성립한다. [H^0(G,M)=M^{G}:={ain M:sigma a=a;text{for all},sigmain G}] 그리고 0\\to A\\to B\\to C\\to 0이 G-modules의 짧은 완전열일 때
0\\to H^0(G,A)\\to H^0(G,A)\\to H^0(G,C)\\to H^1(G,A)\\to H^1(G,B)\\to H^1(G,C)\\to H^2(G,A)\\to H^2(G,B)\\to H^2(G,C)\\to\\cdots
가 긴 완전열이 될 수 있다. 그 외에도 M^G=M이면 정의에 의해서 H^1(G,M)=\\text{Hom}(G,M)이 된다.
이는 정의에 의해서 Ext functor의 특수한 경우로 볼 수 있고 H^n(G,M)=\\text{Ext}^n_{\\Bbb{Z}[G]}(\\Bbb{Z},M)라고 할 수 있다.
0\\to H^0(G,A)\\to H^0(G,A)\\to H^0(G,C)\\to H^1(G,A)\\to H^1(G,B)\\to H^1(G,C)\\to H^2(G,A)\\to H^2(G,B)\\to H^2(G,C)\\to\\cdots
가 긴 완전열이 될 수 있다. 그 외에도 M^G=M이면 정의에 의해서 H^1(G,M)=\\text{Hom}(G,M)이 된다.
이는 정의에 의해서 Ext functor의 특수한 경우로 볼 수 있고 H^n(G,M)=\\text{Ext}^n_{\\Bbb{Z}[G]}(\\Bbb{Z},M)라고 할 수 있다.
