귀납적 극한 (편집)

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'''귀납적 극한'''(Direct limit 또는 inductive limit)이란 대수적 구조의 극한 중 하나로 극한의 개념을 대수학에 대해서도 쓸 수 있도록 만들어 진 것들 중 하나다. 만들어지는 과정에서 쓰는 직관때문에 '''injective limit'''라고도 한다.

== 정의 ==
먼저 [math(R)]을 환이라고 하고 [math(M_i)]를 [math(R)]-module들의 모임이라고 하자. 그리고 [math(i\ge 1)]이라고 하자. 이제 우리는 여기에 direct system이라는 걸 줄 것이다. 먼저 [math(f_{ij}:M_i\to M_j)]가 준동형사상이라고 하자. 그러면 [math(i,j\ge 1)]에 대해서 준동형사상들의 모임 [math(f_{ij})]를 생각할 수 있으며 [math(f_{ij}:M_i\to M_j)]와 [math(f_{jk}:M_{j}\to M_k)]에 대해서 [math(f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij})]가 성립한다고 하자. 그러면 우리는 [math(M_i,f_{ij})]를 생각할 수 있고 이것을 direct system이라고 하자.

[math(x\in M_i)]와 [math(y\in M_j)]에 대해서 적당히 큰 [math(k)]가 있어서 [math(f_{ik}(x)=f_{jk}(y))]라면 [math(x\sim y)]라고 하자. 이는 간단히 적당히 큰 모든 [math(k)]에 대해서 [math(f_{ik}(x)=f_{jk}(y))]라는 것과 동치임을 알 수 있다. 이렇게 두는 이유는 간단한데 '유한개에 대해서만 다름'을 없애주기 위해서다. 간단히 말해서 \[f_{i(i+1)}(x),f_{i(i+2)}(x),\cdots,f_{ik}(x),\cdots\;\;\;\;\;f_{j(j+1)}(y),f_{j(j+2)}(y),\cdots,f_{jk}(y),\cdots\]라는 수열을 생각할 때 뒤의 모든 게 같아지면 앞쪽 항 몇 개가 다르다고 해서 이 두 수열을 다르게 볼 필요는 없다는 것이다. 이제 우리는 \[\lim_{\longrightarrow} M_i:=\bigsqcup_{i}M_i/\sim\]이라고 하고 이를 direct limit라고 하자. 여기에서 사각형 모양으로 생긴 합집합 기호는 서로소 합집합이다.

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