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귀납적 극한(Direct limit 또는 inductive limit)이란 대수적 구조의 극한 중 하나로 극한의 개념을 대수학에 대해서도 쓸 수 있도록 만들어 진 것들 중 하나다. 만들어지는 과정에서 쓰는 직관때문에 injective limit라고도 한다.
1. 정의 ✎ ⊖
먼저 R을 환이라고 하고 M_i를 R-module들의 모임이라고 하자. 그리고 i\\ge 1이라고 하자. 이제 우리는 여기에 direct system이라는 걸 줄 것이다. 먼저 f_{ij}:M_i\\to M_j가 준동형사상이라고 하자. 그러면 i,j\\ge 1에 대해서 준동형사상들의 모임 f_{ij}를 생각할 수 있으며 f_{ij}:M_i\\to M_j와 f_{jk}:M_{j}\\to M_k에 대해서 f_{ik}=f_{jk}\\circ f_{ij}가 성립한다고 하자. 그러면 우리는 M_i,f_{ij}를 생각할 수 있고 이것을 direct system이라고 하자.
x\\in M_i와 y\\in M_j에 대해서 적당히 큰 k가 있어서 f_{ik}(x)=f_{jk}(y)라면 x\\sim y라고 하자. 이는 간단히 적당히 큰 모든 k에 대해서 f_{ik}(x)=f_{jk}(y)라는 것과 동치임을 알 수 있다. 이렇게 두는 이유는 간단한데 '유한개에 대해서만 다름'을 없애주기 위해서다. 간단히 말해서 [f_{i(i+1)}(x),f_{i(i+2)}(x),cdots,f_{ik}(x),cdots;;;;;f_{j(j+1)}(y),f_{j(j+2)}(y),cdots,f_{jk}(y),cdots]라는 수열을 생각할 때 뒤의 모든 게 같아지면 앞쪽 항 몇 개가 다르다고 해서 이 두 수열을 다르게 볼 필요는 없다는 것이다. 이제 우리는 [lim_{longrightarrow} M_i:=bigsqcup_{i}M_i/sim]이라고 하고 이를 direct limit라고 하자. 여기에서 사각형 모양으로 생긴 합집합 기호는 서로소 합집합이다.
x\\in M_i와 y\\in M_j에 대해서 적당히 큰 k가 있어서 f_{ik}(x)=f_{jk}(y)라면 x\\sim y라고 하자. 이는 간단히 적당히 큰 모든 k에 대해서 f_{ik}(x)=f_{jk}(y)라는 것과 동치임을 알 수 있다. 이렇게 두는 이유는 간단한데 '유한개에 대해서만 다름'을 없애주기 위해서다. 간단히 말해서 [f_{i(i+1)}(x),f_{i(i+2)}(x),cdots,f_{ik}(x),cdots;;;;;f_{j(j+1)}(y),f_{j(j+2)}(y),cdots,f_{jk}(y),cdots]라는 수열을 생각할 때 뒤의 모든 게 같아지면 앞쪽 항 몇 개가 다르다고 해서 이 두 수열을 다르게 볼 필요는 없다는 것이다. 이제 우리는 [lim_{longrightarrow} M_i:=bigsqcup_{i}M_i/sim]이라고 하고 이를 direct limit라고 하자. 여기에서 사각형 모양으로 생긴 합집합 기호는 서로소 합집합이다.
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