균등공간 (편집) - 시드위키

[[분류:가져온 문서/오메가]]
[include(틀:일반위상수학)]
均等空間 / Uniform space

균등공간은 위상공간의 일종으로, [[거리공간]]과 [[위상군]]을 크게 일반화시킨 개념이다.

== 정의 ==
[math(x)]가 집합이고 [math(Φ⊂P(X×X))]가 주어졌을 때 [math((X,Φ))]가 균등공간이란 것은 다음이 성립하는 것을 말한다:

1. [math(E∈Φ)]이면 임의의 [math(x∈X)]에 대해 [math((x,x)∈E)]이다.
2. [math(E∈Φ)]이고 [math(F⊂X×X)]이며 [math(E⊂F)]이면 [math(F∈Φ)]이다.
3. [math(E,F∈Φ)]이면 [math(E∩F∈Φ)]이다.
4. [math(E∈Φ)]이면 어떤 [math(F∈Φ)]가 있어 [math((x,y),(y,z)∈F⟹(x,z)∈E)]이다.
5. [math(E∈Φ)]이면 [math(E−1={(y,x):(x,y)∈E}∈Φ)]이다.

이 때 각 [math(E∈X×X)]를 entourage라 부르며, 이는 직관적으로 충분히 가까운 원소들의 집합이란 의미를 갖고 있다. 즉, 여기서 [math(E)]는 거리공간의 open ball에서의 [math(B(a,ε))]에서의 [math(ε)]과 비슷한 역할을 한다. 그리고 [math(Φ)]는 이러한 '거리들의 척도'의 집합이라 해석할 수 있다. 이에 따라 각 정의를 설명하면 다음과 같다:

1. [math(x)]는 자기 자신과 E만큼 가깝다.
2. [math(E)]보다 더 '큰 가까움 척도' [math(F)]는 진짜 가까움을 나타내는 척도이다.
3. [math(min(E,F))]에 해당하는 가까움 척도도 존재한다.
4. [math(E/2)]에 해당하는 역할을 하는 가까움 척도도 존재한다.
5. 가까움 척도는 (느슨한 관점에서) 순서 바꿈을 허용한다.

== 성질 ==
균등공간이 T1 공리를 만족하면 이는 티호노프 공간이다. 사실, 어떤 T1-위상공간이 균등화 가능할 필요충분조건은 그 공간이 티호노프 공간인 것이다.

균등공간 위에서는 코시 수열이나 균등연속, 완전유계에 대해서 논할 수 있다.

== 인터위키 ==
* [[inter:위키백과:균등 공간]]

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[http://archive.ph/5SKvM|링크]])]

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