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均等空間 / Uniform space
균등공간은 위상공간의 일종으로, 거리공간과 위상군을 크게 일반화시킨 개념이다.
1. 정의 ✎ ⊖
x가 집합이고 Φ⊂P(X×X)가 주어졌을 때 (X,Φ)가 균등공간이란 것은 다음이 성립하는 것을 말한다:
1. E∈Φ이면 임의의 x∈X에 대해 (x,x)∈E이다.
2. E∈Φ이고 F⊂X×X이며 E⊂F이면 F∈Φ이다.
3. E,F∈Φ이면 E∩F∈Φ이다.
4. E∈Φ이면 어떤 F∈Φ가 있어 (x,y),(y,z)∈F⟹(x,z)∈E이다.
5. E∈Φ이면 E−1={(y,x):(x,y)∈E}∈Φ이다.
이 때 각 E∈X×X를 entourage라 부르며, 이는 직관적으로 충분히 가까운 원소들의 집합이란 의미를 갖고 있다. 즉, 여기서 E는 거리공간의 open ball에서의 B(a,ε)에서의 ε과 비슷한 역할을 한다. 그리고 Φ는 이러한 '거리들의 척도'의 집합이라 해석할 수 있다. 이에 따라 각 정의를 설명하면 다음과 같다:
1. x는 자기 자신과 E만큼 가깝다.
2. E보다 더 '큰 가까움 척도' F는 진짜 가까움을 나타내는 척도이다.
3. min(E,F)에 해당하는 가까움 척도도 존재한다.
4. E/2에 해당하는 역할을 하는 가까움 척도도 존재한다.
5. 가까움 척도는 (느슨한 관점에서) 순서 바꿈을 허용한다.
1. E∈Φ이면 임의의 x∈X에 대해 (x,x)∈E이다.
2. E∈Φ이고 F⊂X×X이며 E⊂F이면 F∈Φ이다.
3. E,F∈Φ이면 E∩F∈Φ이다.
4. E∈Φ이면 어떤 F∈Φ가 있어 (x,y),(y,z)∈F⟹(x,z)∈E이다.
5. E∈Φ이면 E−1={(y,x):(x,y)∈E}∈Φ이다.
이 때 각 E∈X×X를 entourage라 부르며, 이는 직관적으로 충분히 가까운 원소들의 집합이란 의미를 갖고 있다. 즉, 여기서 E는 거리공간의 open ball에서의 B(a,ε)에서의 ε과 비슷한 역할을 한다. 그리고 Φ는 이러한 '거리들의 척도'의 집합이라 해석할 수 있다. 이에 따라 각 정의를 설명하면 다음과 같다:
1. x는 자기 자신과 E만큼 가깝다.
2. E보다 더 '큰 가까움 척도' F는 진짜 가까움을 나타내는 척도이다.
3. min(E,F)에 해당하는 가까움 척도도 존재한다.
4. E/2에 해당하는 역할을 하는 가까움 척도도 존재한다.
5. 가까움 척도는 (느슨한 관점에서) 순서 바꿈을 허용한다.
2. 성질 ✎ ⊖
균등공간이 T1 공리를 만족하면 이는 티호노프 공간이다. 사실, 어떤 T1-위상공간이 균등화 가능할 필요충분조건은 그 공간이 티호노프 공간인 것이다.
균등공간 위에서는 코시 수열이나 균등연속, 완전유계에 대해서 논할 수 있다.
균등공간 위에서는 코시 수열이나 균등연속, 완전유계에 대해서 논할 수 있다.
