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위상수학에서, 집합의 내부(Interior)는 그 집합에 포함된 모든 열린 집합의 합집합으로, 직관적으로 집합의 경계를 제외한 내부라는 개념과 일치한다.
1. 정의 ✎ ⊖
위상공간 X에서 집합 A의 내부는 A에 포함된 모든 열린 집합의 합집합이다. \\operatorname{Int}A, \\operatorname{int}A, 또는 A^\\circ로 표기한다.
2. 내부점 ✎ ⊖
집합 A에 속하는 점 p에 대해 E의 부분집합인 p의 근방이 존재하면, p를 A의 내부점(interior point)라고 한다.
A의 내부는 A의 모든 내부점들의 집합과 같다.
A의 내부는 A의 모든 내부점들의 집합과 같다.
3. 성질 ✎ ⊖
- 내부는 열려있다.
- 내부는 그 집합에 포함된 가장 큰 열린 집합이다.
- 열린 집합의 내부는 자기 자신이다. 역도 성립한다.
- A\\subset B이면 \\operatorname{int}A\\subset\\operatorname{int}B이다.
- A가 열린 집합이면, A\\subset B는 A\\subset\\operatorname{int}B와 동치이다.
- 내부 연산자 \\operatorname{int}는 멱등성을 가진다. 즉, \\operatorname{int}(\\operatorname{int}A)=\\operatorname{int}A이다.
4. 외부 ✎ ⊖
집합 A의 외부(Exterior)는 \\operatorname{ext} A, \\operatorname{Ext} A, 또는 A^e로 표기하며, \\operatorname{int}(X\\setminus A)로 정의한다. 내부와 마찬가지로, 이는 직관적으로 집합의 외부라는 개념과 일치한다.
외부의 많은 성질들이 내부의 성질들로부터 자연스럽게 유도된다. 예를 들어
내부 연산자와 다르게, ext는 멱등성을 가지지 않지만, 다음이 성립한다.
외부의 많은 성질들이 내부의 성질들로부터 자연스럽게 유도된다. 예를 들어
- \\operatorname{ext} A 는 A와 서로소인 열린 집합이다..
- \\operatorname{ext} A 은 A와 서로소인 모든 열린 집합들의 합집합이다.
- \\operatorname{ext} A는 A와 서로소인 최대의 열린 집합이다.
- A\\subset B이면 \\operatorname{ext} A\\supset\\operatorname{ext} B이다.
내부 연산자와 다르게, ext는 멱등성을 가지지 않지만, 다음이 성립한다.
- \\operatorname{ext}(\\operatorname{ext}(A))\\supset\\operatorname{int}(A).
