내부 (편집) - 시드위키

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위상수학에서, 집합의 내부(Interior)는 그 집합에 포함된 모든 열린 집합의 합집합으로, 직관적으로 집합의 경계를 제외한 내부라는 개념과 일치한다.

== 정의 ==
위상공간 [math(X)]에서 집합 [math(A)]의 내부는 [math(A)]에 포함된 모든 열린 집합의 합집합이다. [math(\operatorname{Int}A)], [math(\operatorname{int}A)], 또는 [math(A^\circ)]로 표기한다.

==내부점==
집합 [math(A)]에 속하는 점 [math(p)]에 대해 [math(E)]의 부분집합인 [math(p)]의 근방이 존재하면, [math(p)]를 [math(A)]의 내부점(interior point)라고 한다.

[math(A)]의 내부는 [math(A)]의 모든 내부점들의 집합과 같다.

== 성질 ==
* 내부는 열려있다.
* 내부는 그 집합에 포함된 가장 큰 열린 집합이다.
* 열린 집합의 내부는 자기 자신이다. 역도 성립한다.
* [math(A\subset B)]이면 [math(\operatorname{int}A\subset\operatorname{int}B)]이다.
* [math(A)]가 열린 집합이면, [math(A\subset B)]는 [math(A\subset\operatorname{int}B)]와 동치이다.
* 내부 연산자 [math(\operatorname{int})]는 멱등성을 가진다. 즉, [math(\operatorname{int}(\operatorname{int}A)=\operatorname{int}A)]이다.

== 외부 ==
집합 [math(A)]의 외부(Exterior)는 [math(\operatorname{ext} A)], [math(\operatorname{Ext} A)], 또는 [math(A^e)]로 표기하며, [math(\operatorname{int}(X\setminus A))]로 정의한다. 내부와 마찬가지로, 이는 직관적으로 집합의 외부라는 개념과 일치한다.

외부의 많은 성질들이 내부의 성질들로부터 자연스럽게 유도된다. 예를 들어

* [math(\operatorname{ext} A)] 는 [math(A)]와 서로소인 열린 집합이다..
* [math(\operatorname{ext} A)] 은 [math(A)]와 서로소인 모든 열린 집합들의 합집합이다.
* [math(\operatorname{ext} A)]는 [math(A)]와 서로소인 최대의 열린 집합이다.
* [math(A\subset B)]이면 [math(\operatorname{ext} A\supset\operatorname{ext} B)]이다.

내부 연산자와 다르게, ext는 멱등성을 가지지 않지만, 다음이 성립한다.

* [math(\operatorname{ext}(\operatorname{ext}(A))\supset\operatorname{int}(A))].

== 영상 ==
[youtube(yLrWWEzXWEQ)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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