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위상수학에서 연결공간(Connected space)이란 두 개의 서로소인 개집합으로 분할되지 않는 공간을 말한다.
1. 정의 ✎ ⊖
위상공간 X가 비연결공간이란 것은 X 위의 개집합 U, V가 있어 U\\cap V=\\varnothing이고 U\\cup V=X인 것이다. 비연결공간이 아닌 공간을 연결공간이라고 한다.
2. 동치인 정의 ✎ ⊖
위상공간 X가 연결일 필요충분조건은 다음과 같다:
- X의 부분집합 A, B가 있어 A\\cup B=X이고 \\overline{A}\\cap B=A\\cup\\overline{B}=\\varnothing이다.
- X 위의 개폐집합은 공집합과 자기 자신 뿐이다.
- X에서 이산공간 \\{0,1\\}으로 가는 연속함수는 상수함수이다.
3. 예시 ✎ ⊖
- 실수선 위의 임의의 구간은 연결이다. 역으로, 실수 구간 위의 임의의 연결집합은 구간이다.
- 보다 일반적으로, 선형 연속체 위의 구간은 연결이다.
- 모든 호상연결공간은 연결이다. 하지만 그 역은 성립하지 않는다.
- 위상수학자의 사인 곡선
4. 성질 ✎ ⊖
연결공간의 임의 곱은 연결이다. 또한, 어느 공간의 연결 부분공간의 폐포 또한 연결이다. 그리고 쌍마다 만나는 연결 부분공간들의 합집합 또한 연결이다.
연결공간의 연속함수에 의한 상 또한 연결이다. 특히, X가 연결공간이고 f가 X에서 실수 공간으로 가는 함수이면 f는 중간값 성질을 만족한다.
연결공간의 연속함수에 의한 상 또한 연결이다. 특히, X가 연결공간이고 f가 X에서 실수 공간으로 가는 함수이면 f는 중간값 성질을 만족한다.
