연결공간

위상수학에서 연결공간(Connected space)이란 두 개의 서로소인 개집합으로 분할되지 않는 공간을 말한다.

목차

1. 정의
2. 동치인 정의
3. 예시
4. 성질
5. 영상

1. 정의 _{✎ ⊖}

위상공간

X

가 비연결공간이란 것은

X

위의 개집합

U

V

가 있어

U\cap V=\varnothing

이고

U\cup V=X

인 것이다. 비연결공간이 아닌 공간을 연결공간이라고 한다.

위상공간

X

가 연결일 필요충분조건은 다음과 같다:

$X$ 의 부분집합 $A$ , $B$ 가 있어 $A\cup B=X$ 이고 $\overline{A}\cap B=A\cup\overline{B}=\varnothing$ 이다.
$X$ 위의 개폐집합은 공집합과 자기 자신 뿐이다.
$X$ 에서 이산공간 $\{0,1\}$ 으로 가는 연속함수는 상수함수이다.

연결공간의 임의 곱은 연결이다. 또한, 어느 공간의 연결 부분공간의 폐포 또한 연결이다. 그리고 쌍마다 만나는 연결 부분공간들의 합집합 또한 연결이다.

연결공간의 연속함수에 의한 상 또한 연결이다. 특히,

X

가 연결공간이고

f

가

X

에서 실수 공간으로 가는 함수이면

f

는 중간값 성질을 만족한다.

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