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균등공간
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113,909
== 정의 == [math(x)]가 집합이고 [math(Φ⊂P(X×X))]가 주어졌을 때 [math((X,Φ))]가 균등공간이란 것은 다음이 성립하는 것을 말한다: 1. [math(E∈Φ)]이면 임의의 [math(x∈X)]에 대해 [math((x,x)∈E)]이다. 2. [math(E∈Φ)]이고 [math(F⊂X×X)]이며 [math(E⊂F)]이면 [math(F∈Φ)]이다. 3. [math(E,F∈Φ)]이면 [math(E∩F∈Φ)]이다. 4. [math(E∈Φ)]이면 어떤 [math(F∈Φ)]가 있어 [math((x,y),(y,z)∈F⟹(x,z)∈E)]이다. 5. [math(E∈Φ)]이면 [math(E−1={(y,x):(x,y)∈E}∈Φ)]이다. 이 때 각 [math(E∈X×X)]를 entourage라 부르며, 이는 직관적으로 충분히 가까운 원소들의 집합이란 의미를 갖고 있다. 즉, 여기서 [math(E)]는 거리공간의 open ball에서의 [math(B(a,ε))]에서의 [math(ε)]과 비슷한 역할을 한다. 그리고 [math(Φ)]는 이러한 '거리들의 척도'의 집합이라 해석할 수 있다. 이에 따라 각 정의를 설명하면 다음과 같다: 1. [math(x)]는 자기 자신과 E만큼 가깝다. 2. [math(E)]보다 더 '큰 가까움 척도' [math(F)]는 진짜 가까움을 나타내는 척도이다. 3. [math(min(E,F))]에 해당하는 가까움 척도도 존재한다. 4. [math(E/2)]에 해당하는 역할을 하는 가까움 척도도 존재한다. 5. 가까움 척도는 (느슨한 관점에서) 순서 바꿈을 허용한다.
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== 정의 == [math(x)]가 집합이고 [math(Φ⊂P(X×X))]가 주어졌을 때 [math((X,Φ))]가 균등공간이란 것은 다음이 성립하는 것을 말한다: 1. [math(E∈Φ)]이면 임의의 [math(x∈X)]에 대해 [math((x,x)∈E)]이다. 2. [math(E∈Φ)]이고 [math(F⊂X×X)]이며 [math(E⊂F)]이면 [math(F∈Φ)]이다. 3. [math(E,F∈Φ)]이면 [math(E∩F∈Φ)]이다. 4. [math(E∈Φ)]이면 어떤 [math(F∈Φ)]가 있어 [math((x,y),(y,z)∈F⟹(x,z)∈E)]이다. 5. [math(E∈Φ)]이면 [math(E−1={(y,x):(x,y)∈E}∈Φ)]이다. 이 때 각 [math(E∈X×X)]를 entourage라 부르며, 이는 직관적으로 충분히 가까운 원소들의 집합이란 의미를 갖고 있다. 즉, 여기서 [math(E)]는 거리공간의 open ball에서의 [math(B(a,ε))]에서의 [math(ε)]과 비슷한 역할을 한다. 그리고 [math(Φ)]는 이러한 '거리들의 척도'의 집합이라 해석할 수 있다. 이에 따라 각 정의를 설명하면 다음과 같다: 1. [math(x)]는 자기 자신과 E만큼 가깝다. 2. [math(E)]보다 더 '큰 가까움 척도' [math(F)]는 진짜 가까움을 나타내는 척도이다. 3. [math(min(E,F))]에 해당하는 가까움 척도도 존재한다. 4. [math(E/2)]에 해당하는 역할을 하는 가까움 척도도 존재한다. 5. 가까움 척도는 (느슨한 관점에서) 순서 바꿈을 허용한다.
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