기수 (편집) - 시드위키

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수학에서, 기수란 어떤 집합의 농도를 나타내는 수이다. 게오르그 칸토어가 처음 정의했다.

== 설명 ==
기수는 간단히 말해 집합의 크기를 나타내는 수의 일종이다. 여기서 말하는 크기는 집합의 원소의 개수를 뜻한다고 볼 수 있다. 예를 들어 [math(\{1,2,3\})]의 기수는 3이다.

하지만 무한집합에서는 원소의 개수를 하나하나 세어서 어떤 집합의 원소의 갯수가 어떠하다고 말할 수는 없다. 원소의 개수가 무한하기 때문이다. 따라서 다른 방식으로 집합의 크기를 재는 방법이 필요로 하다. 두 유한집합이 주어졌을 때, 두 집합의 원소의 갯수가 같다면 두 집합 간의 각 원소를 대응시킬 수 있다는 데에서 착안하자. 이를 무한집합으로 일반화시켜서 두 집합의 농도가 같다는 것을 두 집합간의 원소를 서로 대응시킬 수 있는 경우, 즉 두 집합 간의 전단사가 존재하는 것으로 생각할 수 있다.

특히, [math(\Bbb{N})], 그리고 모든 [[가산집합]]의 기수는 [math(\aleph_0)]로 표기한다. 이는 [math(\infty)]와는 엄연히 다르다.[* [math(\infty)]는 가무한이지만 [math(\aleph_0)]은 실무한이다.] 무한집합들은 모두 원소의 개수가 무한하므로 기수가 모두 같다고 생각할 수 있겠지만 그렇지 않다. 예를 들어, 자연수의 집합의 기수 [math(\aleph_0)]와 실수의 집합의 기수(연속체 크기, [math(c)] 또는 [math(2^{\aleph_0})])는 서로 다르다.

== 정의 ==
=== 동치류를 이용해서 정의하는 방법 ===
기수는 모든 집합들의 모임 위에 두 집합간의 전단사가 존재한다는 동치류를 주었을 때 그 동치류로 정의될 수 있다. (즉, X가 집합일 때 그 동치류 [X]를 서수로 취급한다.) 하지만 ZFC와 같은 많은 집합론 체계에서는 이러한 정의가 유효하지 않는데, 왜냐하면 그러한 동치류 자체도 대개 '너무 커서' 집합이 아니기 때문이다. 하지만 [[정칙성 공리]]를 가정했을 때 Scott's trick과 같은 방법을 써서 주어진 방법과 비슷한 방법으로 기수를 정의할 수 있다.

=== 서수를 이용하는 방법 ===
선택공리를 가정한다면, 임의의 집합은 정렬 가능하다. 따라서 선택공리가 가정되었을 때에는 서수들의 농도만 고려함으로써 모든 집합들의 농도를 논의할 수 있다. 어떤 서수 [math(\alpha)]가 기수란 것을 [math(\beta<\alpha)]인 임의의 서수 [math(\beta)]에서 [math(\alpha)]로 가는 전단사가 존재하지 않는다는 것으로 정의한다.

== 기수 연산 ==
유한 집합들의 원소의 갯수 위에 연산이 주어져 있듯, 기수들 위에서도 연산을 정의할 수 있다. 하지만 기수 연산의 결과는 (특히 지수 연산부터는) 선택공리나 부가적인 공리 등에 많이 의존하며, ZFC만으로는 주어진 기수간 연산 결과가 결정되지 않는 경우도 많다.

=== 덧셈 ===
A와 B가 서로소인 집합일 때, 두 집합의 농도의 합 [math(|A|+|B|)]은

[math(|A|+|B|=|A\cup B|)]

으로 정의한다. 이 때 [math(|A+B|)]의 농도는 A와 B의 농도에 의해서만 결정된다.

=== 곱셈 ===
A와 B가 집합일 때 두 집합의 농도의 곱 [math(|A|\cdot|B|)]는

[math(|A|\cdot|B|=|A\times B|)]

으로 정의한다. 덧셈의 경우와 마찬가지로, 위의 결과는 A와 B의 농도에 의해서만 결정된다.

=== 지수 연산 ===
A와 B가 집합일 때 두 집합의 지수 연산 [math(|A|^{|B|})]는

[math(|A|^{|B|}=|A^B|)]

으로 정의한다. 이 때 [math(A^B)]는 [math(B)]에서 [math(A)]로 가는 함수들의 집합이다. 이 결과 또한 A와 B의 농도에 의해서만 결정된다.

=== 무한합과 무한곱 ===
선택공리를 가정하면, 기수들간의 무한합과 무한곱도 정의할 수 있다. [math(\{A_i\}_{i\in I})]가 쌍마다 서로소인 집합족일 때

[math(\sum_{i\in I} |A_i| = \left| \bigcup_{i\in I} A_i\right|)]

로 정의된다. 그리고 [math(\{A_i\}_{i\in I})]가 집합족일 때

[math(\prod_{i\in I} |A_i| = \left| \prod_{i\in I} A_i\right|)]

으로 정의된다. 선택공리를 가정하면 위의 결과는 집합족의 선택에 관계하지 않으며 오직 집합족의 각 원소들의 농도에만 관계함을 보일 수 있다. 그리고 이를 증명하는 데 선택공리는 필수적이다.

== 영상 ==
[youtube(WGSgnmtHnYo)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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