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수학에서, 기수란 어떤 집합의 농도를 나타내는 수이다. 게오르그 칸토어가 처음 정의했다.
목차
1. 설명
2. 정의
2.1. 동치류를 이용해서 정의하는 방법
2.2. 서수를 이용하는 방법
3. 기수 연산
3.1. 덧셈
3.2. 곱셈
3.3. 지수 연산
3.4. 무한합과 무한곱
4. 영상
1. 설명
2. 정의
2.1. 동치류를 이용해서 정의하는 방법
2.2. 서수를 이용하는 방법
3. 기수 연산
3.1. 덧셈
3.2. 곱셈
3.3. 지수 연산
3.4. 무한합과 무한곱
4. 영상
1. 설명 ✎ ⊖
기수는 간단히 말해 집합의 크기를 나타내는 수의 일종이다. 여기서 말하는 크기는 집합의 원소의 개수를 뜻한다고 볼 수 있다. 예를 들어 \\{1,2,3\\}의 기수는 3이다.
하지만 무한집합에서는 원소의 개수를 하나하나 세어서 어떤 집합의 원소의 갯수가 어떠하다고 말할 수는 없다. 원소의 개수가 무한하기 때문이다. 따라서 다른 방식으로 집합의 크기를 재는 방법이 필요로 하다. 두 유한집합이 주어졌을 때, 두 집합의 원소의 갯수가 같다면 두 집합 간의 각 원소를 대응시킬 수 있다는 데에서 착안하자. 이를 무한집합으로 일반화시켜서 두 집합의 농도가 같다는 것을 두 집합간의 원소를 서로 대응시킬 수 있는 경우, 즉 두 집합 간의 전단사가 존재하는 것으로 생각할 수 있다.
특히, \\Bbb{N}, 그리고 모든 가산집합의 기수는 \\aleph_0로 표기한다. 이는 \\infty와는 엄연히 다르다.(1) 무한집합들은 모두 원소의 개수가 무한하므로 기수가 모두 같다고 생각할 수 있겠지만 그렇지 않다. 예를 들어, 자연수의 집합의 기수 \\aleph_0와 실수의 집합의 기수(연속체 크기, c 또는 2^{\\aleph_0})는 서로 다르다.
하지만 무한집합에서는 원소의 개수를 하나하나 세어서 어떤 집합의 원소의 갯수가 어떠하다고 말할 수는 없다. 원소의 개수가 무한하기 때문이다. 따라서 다른 방식으로 집합의 크기를 재는 방법이 필요로 하다. 두 유한집합이 주어졌을 때, 두 집합의 원소의 갯수가 같다면 두 집합 간의 각 원소를 대응시킬 수 있다는 데에서 착안하자. 이를 무한집합으로 일반화시켜서 두 집합의 농도가 같다는 것을 두 집합간의 원소를 서로 대응시킬 수 있는 경우, 즉 두 집합 간의 전단사가 존재하는 것으로 생각할 수 있다.
특히, \\Bbb{N}, 그리고 모든 가산집합의 기수는 \\aleph_0로 표기한다. 이는 \\infty와는 엄연히 다르다.(1) 무한집합들은 모두 원소의 개수가 무한하므로 기수가 모두 같다고 생각할 수 있겠지만 그렇지 않다. 예를 들어, 자연수의 집합의 기수 \\aleph_0와 실수의 집합의 기수(연속체 크기, c 또는 2^{\\aleph_0})는 서로 다르다.
2. 정의 ✎ ⊖
2.1. 동치류를 이용해서 정의하는 방법 ✎ ⊖
기수는 모든 집합들의 모임 위에 두 집합간의 전단사가 존재한다는 동치류를 주었을 때 그 동치류로 정의될 수 있다. (즉, X가 집합일 때 그 동치류 [X]를 서수로 취급한다.) 하지만 ZFC와 같은 많은 집합론 체계에서는 이러한 정의가 유효하지 않는데, 왜냐하면 그러한 동치류 자체도 대개 '너무 커서' 집합이 아니기 때문이다. 하지만 정칙성 공리를 가정했을 때 Scott's trick과 같은 방법을 써서 주어진 방법과 비슷한 방법으로 기수를 정의할 수 있다.
2.2. 서수를 이용하는 방법 ✎ ⊖
선택공리를 가정한다면, 임의의 집합은 정렬 가능하다. 따라서 선택공리가 가정되었을 때에는 서수들의 농도만 고려함으로써 모든 집합들의 농도를 논의할 수 있다. 어떤 서수 \\alpha가 기수란 것을 \\beta<\\alpha인 임의의 서수 \\beta에서 \\alpha로 가는 전단사가 존재하지 않는다는 것으로 정의한다.
3. 기수 연산 ✎ ⊖
유한 집합들의 원소의 갯수 위에 연산이 주어져 있듯, 기수들 위에서도 연산을 정의할 수 있다. 하지만 기수 연산의 결과는 (특히 지수 연산부터는) 선택공리나 부가적인 공리 등에 많이 의존하며, ZFC만으로는 주어진 기수간 연산 결과가 결정되지 않는 경우도 많다.
3.1. 덧셈 ✎ ⊖
A와 B가 서로소인 집합일 때, 두 집합의 농도의 합 |A|+|B|은
|A|+|B|=|A\\cup B|
으로 정의한다. 이 때 |A+B|의 농도는 A와 B의 농도에 의해서만 결정된다.
|A|+|B|=|A\\cup B|
으로 정의한다. 이 때 |A+B|의 농도는 A와 B의 농도에 의해서만 결정된다.
3.2. 곱셈 ✎ ⊖
A와 B가 집합일 때 두 집합의 농도의 곱 |A|\\cdot|B|는
|A|\\cdot|B|=|A\\times B|
으로 정의한다. 덧셈의 경우와 마찬가지로, 위의 결과는 A와 B의 농도에 의해서만 결정된다.
|A|\\cdot|B|=|A\\times B|
으로 정의한다. 덧셈의 경우와 마찬가지로, 위의 결과는 A와 B의 농도에 의해서만 결정된다.
3.3. 지수 연산 ✎ ⊖
A와 B가 집합일 때 두 집합의 지수 연산 |A|^{|B|}는
|A|^{|B|}=|A^B|
으로 정의한다. 이 때 A^B는 B에서 A로 가는 함수들의 집합이다. 이 결과 또한 A와 B의 농도에 의해서만 결정된다.
|A|^{|B|}=|A^B|
으로 정의한다. 이 때 A^B는 B에서 A로 가는 함수들의 집합이다. 이 결과 또한 A와 B의 농도에 의해서만 결정된다.
3.4. 무한합과 무한곱 ✎ ⊖
선택공리를 가정하면, 기수들간의 무한합과 무한곱도 정의할 수 있다. \\{A_i\\}_{i\\in I}가 쌍마다 서로소인 집합족일 때
\\sum_{i\\in I} |A_i| = \\left| \\bigcup_{i\\in I} A_i\\right|
로 정의된다. 그리고 \\{A_i\\}_{i\\in I}가 집합족일 때
\\prod_{i\\in I} |A_i| = \\left| \\prod_{i\\in I} A_i\\right|
으로 정의된다. 선택공리를 가정하면 위의 결과는 집합족의 선택에 관계하지 않으며 오직 집합족의 각 원소들의 농도에만 관계함을 보일 수 있다. 그리고 이를 증명하는 데 선택공리는 필수적이다.
\\sum_{i\\in I} |A_i| = \\left| \\bigcup_{i\\in I} A_i\\right|
로 정의된다. 그리고 \\{A_i\\}_{i\\in I}가 집합족일 때
\\prod_{i\\in I} |A_i| = \\left| \\prod_{i\\in I} A_i\\right|
으로 정의된다. 선택공리를 가정하면 위의 결과는 집합족의 선택에 관계하지 않으며 오직 집합족의 각 원소들의 농도에만 관계함을 보일 수 있다. 그리고 이를 증명하는 데 선택공리는 필수적이다.
4. 영상 ✎ ⊖
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(1) \\infty는 가무한이지만 \\aleph_0은 실무한이다.
