정칙성 공리

정칙성 공리는 집합론의 공리 중 하나이다.

목차

1. 형식적 진술
2. 정칙성 공리의 귀결
2.1. 포함관계에 대해 무한히 감소하는 열은 존재하지 않는다.
2.2. 폰 노이만 우주는 모든 집합들의 모임이다

1. 형식적 진술 _{✎ ⊖}

정칙성 공리는 다음과 같이 진술될 수 있다.

\\forall x : x\\neq\\varnothing\\to(\\exists y\\in x:y\\cap x=\\varnothing)

이는 x가 공집합이 아니면 자기 자신과 서로소인 원소를 포함한다고 해석된다. 또한 이를 달리 쓰면

\\forall x : x\\neq\\varnothing\\to(\\exists y\\in x\\forall z : z\\in x\\to z\\notin y)

로, 이는 임의의 집합이 \\in-최소원을 갖는다고 해석된다.

2. 정칙성 공리의 귀결 _{✎ ⊖}

정칙성 공리를 가정하면 다음과 같은 사실들을 보일 수 있다.

2.1. 포함관계에 대해 무한히 감소하는 열은 존재하지 않는다. _{✎ ⊖}

즉, x_0\\ni x_1\\ni \\cdots를 만족하는 집합열 \\langle x_n\\rangle은 존재하지 않는다. 종속 선택공리를 가정하면, 이 명제로부터 정칙성 공리를 이끌어낼 수도 있다. 또한, 이 명제의 따름귀결로 x\\in x와 같은 집합이 존재하지 않음을 알 수 있다.

2.2. 폰 노이만 우주는 모든 집합들의 모임이다 _{✎ ⊖}

일반적으로, 폰 노이만 우주와 모든 집합들의 모임은 같지 않다. 하지만 정칙성 공리를 가정하면 이 둘은 일치한다.

1. 형식적 진술 ✎ ⊖

2. 정칙성 공리의 귀결 ✎ ⊖

2.1. 포함관계에 대해 무한히 감소하는 열은 존재하지 않는다. ✎ ⊖

2.2. 폰 노이만 우주는 모든 집합들의 모임이다 ✎ ⊖

1. 형식적 진술 _{✎ ⊖}

2. 정칙성 공리의 귀결 _{✎ ⊖}

2.1. 포함관계에 대해 무한히 감소하는 열은 존재하지 않는다. _{✎ ⊖}

2.2. 폰 노이만 우주는 모든 집합들의 모임이다 _{✎ ⊖}