내적 (편집) - 시드위키

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Inner Product, Dot Product / Scalar Product[* 스칼라곱]

두 개의 벡터를 곱하여 하나의 스칼라를 얻는 연산을 말한다. 때에 따라 [math( \cdot )], [math( \langle \cdot, \cdot \rangle )], [math( \langle \cdot | \cdot \rangle )] 등으로 다양하게 나타낸다. 하지만 이들은 공통적으로 [math( {\mathbb{R}}^{n} \times {\mathbb{R}}^{n} \mapsto \mathbb{R} )] 또는 [math( {\mathbb{C}}^{n} \times {\mathbb{C}}^{n} \mapsto \mathbb{C} )]인 연산이다.

== 정의 ==
[math(V)]를 [math(\mathbb{C})]의 부분체 [math(F)] 위에 있는 벡터공간이라 하자. 함수 [math(\left<\cdot,\cdot\right>:V\times V \to F)]가 모든 [math(\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in V)], [math(c\in F)]에 대해

(1) [math(\left<\mathbf{x},\mathbf{x}\right>\ge 0)]
(1a) [math(\left<\mathbf{x},\mathbf{x}\right>=0 \Leftrightarrow \mathbf{x}=\mathbf{0})]
(2) [math(\left<\mathbf{x+y},\mathbf{z}\right>=\left<\mathbf{x},\mathbf{z}\right>+\left<\mathbf{y},\mathbf{z}\right>)]
(3) [math(\left<c\mathbf{x},\mathbf{y}\right>=c\left<\mathbf{x},\mathbf{y}\right>)]
(4) [math(\left<\mathbf{x},\mathbf{y}\right>=\overline{\left<\mathbf{y},\mathbf{x}\right>})]

를 만족하면 내적이라 한다. 함수가 (2), (3), (4)를 만족하면 반쌍형적 함수(Sesquilinear function)라 한다.

=== 선형대수학 ===
선형대수학에서, 두 벡터 [math( \mathbf{x} )]와 [math( \mathbf{y} )]의 내적은 다음과 같이 정의된다.

[math( \displaystyle \langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle = \begin{bmatrix} {x}_{1}^{\ast} & {x}_{2}^{\ast} & {x}_{3}^{\ast} & \cdots & {x}_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {y}_{1} \\ {y}_{2} \\ {y}_{3} \\ \vdots \\ {y}_{n} \end{bmatrix} = \sum_{i = 1}^{n} {x}_{i}^{\ast} {y}_{i} )]

따라서 어떤 벡터의 놈(norm) [math( \| \mathbf{x} \| =\sqrt{ \langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle} )]은 실수일 수 밖에 없다.

=== 기하학 ===
기하학에서는 벡터의 내적을 정의하기 위하여 계량 텐서를 필요로 한다. 계량 텐서의 각 성분은

[math( {g}_{i j} = {\hat{\mathbf{e}}}_{i} \cdot {\hat{\mathbf{e}}}_{j} )]

으로 정의된다. 벡터 [math( \vec{x} )]와 [math( \vec{y} )]는

[math( \displaystyle \vec{x} = \sum_{i = 1}^{n} {x}^{i} {\hat{\mathbf{e}}}_{i} \, , \; \vec{y} = \sum_{i = 1}^{n} {y}^{i} {\hat{\mathbf{e}}}_{i} )]

으로 정의되기 때문에 두 벡터의 내적은

[math( \displaystyle \vec{x} \cdot \vec{y} = \sum_{i, j = 1}^{n} {g}_{i j} {x}^{i} {y}^{j} )]

이다.

=== L^^1^^ 공간 ===
[math(L^1)] 공간에서 임의의 벡터 [math( f, g)]의 내적은 다음과 같이 정의된다.

[math(\displaystyle  \langle f , g \rangle = \int_{-\pi} ^\pi f(x)g(x) dx)]

정적분 값이기 때문에 언제나 실수이다.

=== L^^2^^ 공간 ===
[math( {L}^{2} )] 공간에서의 벡터를 디랙 표기법에 따라 나타내면 [math( | f \rangle )]로 나타낼 수 있다. 이것은 선형대수학에서의 벡터와 비슷한 형태라고 생각하면 된다. 따라서 두 벡터 [math( | f \rangle )]와 [math( | g \rangle )]의 내적은 다음과 같이 정의된다.

[math( \displaystyle \langle f | g \rangle = \int_{X} {f}^{\ast}(x) g(x) \, d x )]

여기서도 벡터의 놈은 언제나 실수로 정의된다.

== 영상 ==
[youtube(IOf1o72aKDc)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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