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Inner Product, Dot Product / Scalar Product(1)
두 개의 벡터를 곱하여 하나의 스칼라를 얻는 연산을 말한다. 때에 따라 \\cdot , \\langle \\cdot, \\cdot \\rangle , \\langle \\cdot | \\cdot \\rangle 등으로 다양하게 나타낸다. 하지만 이들은 공통적으로 {\\mathbb{R}}^{n} \\times {\\mathbb{R}}^{n} \\mapsto \\mathbb{R} 또는 {\\mathbb{C}}^{n} \\times {\\mathbb{C}}^{n} \\mapsto \\mathbb{C} 인 연산이다.
1. 정의 ✎ ⊖
V를 \\mathbb{C}의 부분체 F 위에 있는 벡터공간이라 하자. 함수 \\left<\\cdot,\\cdot\\right>:V\\times V \\to F가 모든 \\mathbf{x},\\mathbf{y},\\mathbf{z}\\in V, c\\in F에 대해
(1) \\left<\\mathbf{x},\\mathbf{x}\\right>\\ge 0
(1a) \\left<\\mathbf{x},\\mathbf{x}\\right>=0 \\Leftrightarrow \\mathbf{x}=\\mathbf{0}
(2) \\left<\\mathbf{x+y},\\mathbf{z}\\right>=\\left<\\mathbf{x},\\mathbf{z}\\right>+\\left<\\mathbf{y},\\mathbf{z}\\right>
(3) \\left<c\\mathbf{x},\\mathbf{y}\\right>=c\\left<\\mathbf{x},\\mathbf{y}\\right>
(4) \\left<\\mathbf{x},\\mathbf{y}\\right>=\\overline{\\left<\\mathbf{y},\\mathbf{x}\\right>}
를 만족하면 내적이라 한다. 함수가 (2), (3), (4)를 만족하면 반쌍형적 함수(Sesquilinear function)라 한다.
(1) \\left<\\mathbf{x},\\mathbf{x}\\right>\\ge 0
(1a) \\left<\\mathbf{x},\\mathbf{x}\\right>=0 \\Leftrightarrow \\mathbf{x}=\\mathbf{0}
(2) \\left<\\mathbf{x+y},\\mathbf{z}\\right>=\\left<\\mathbf{x},\\mathbf{z}\\right>+\\left<\\mathbf{y},\\mathbf{z}\\right>
(3) \\left<c\\mathbf{x},\\mathbf{y}\\right>=c\\left<\\mathbf{x},\\mathbf{y}\\right>
(4) \\left<\\mathbf{x},\\mathbf{y}\\right>=\\overline{\\left<\\mathbf{y},\\mathbf{x}\\right>}
를 만족하면 내적이라 한다. 함수가 (2), (3), (4)를 만족하면 반쌍형적 함수(Sesquilinear function)라 한다.
1.1. 선형대수학 ✎ ⊖
선형대수학에서, 두 벡터 \\mathbf{x} 와 \\mathbf{y} 의 내적은 다음과 같이 정의된다.
\\displaystyle \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{y} \\rangle = \\begin{bmatrix} {x}_{1}^{\\ast} & {x}_{2}^{\\ast} & {x}_{3}^{\\ast} & \\cdots & {x}_{n}^{\\ast} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} {y}_{1} \\\\ {y}_{2} \\\\ {y}_{3} \\\\ \\vdots \\\\ {y}_{n} \\end{bmatrix} = \\sum_{i = 1}^{n} {x}_{i}^{\\ast} {y}_{i}
따라서 어떤 벡터의 놈(norm) \\| \\mathbf{x} \\| =\\sqrt{ \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{x} \\rangle} 은 실수일 수 밖에 없다.
\\displaystyle \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{y} \\rangle = \\begin{bmatrix} {x}_{1}^{\\ast} & {x}_{2}^{\\ast} & {x}_{3}^{\\ast} & \\cdots & {x}_{n}^{\\ast} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} {y}_{1} \\\\ {y}_{2} \\\\ {y}_{3} \\\\ \\vdots \\\\ {y}_{n} \\end{bmatrix} = \\sum_{i = 1}^{n} {x}_{i}^{\\ast} {y}_{i}
따라서 어떤 벡터의 놈(norm) \\| \\mathbf{x} \\| =\\sqrt{ \\langle \\mathbf{x}, \\mathbf{x} \\rangle} 은 실수일 수 밖에 없다.
1.2. 기하학 ✎ ⊖
기하학에서는 벡터의 내적을 정의하기 위하여 계량 텐서를 필요로 한다. 계량 텐서의 각 성분은
{g}_{i j} = {\\hat{\\mathbf{e}}}_{i} \\cdot {\\hat{\\mathbf{e}}}_{j}
으로 정의된다. 벡터 \\vec{x} 와 \\vec{y} 는
\\displaystyle \\vec{x} = \\sum_{i = 1}^{n} {x}^{i} {\\hat{\\mathbf{e}}}_{i} \\, , \\; \\vec{y} = \\sum_{i = 1}^{n} {y}^{i} {\\hat{\\mathbf{e}}}_{i}
으로 정의되기 때문에 두 벡터의 내적은
\\displaystyle \\vec{x} \\cdot \\vec{y} = \\sum_{i, j = 1}^{n} {g}_{i j} {x}^{i} {y}^{j}
이다.
{g}_{i j} = {\\hat{\\mathbf{e}}}_{i} \\cdot {\\hat{\\mathbf{e}}}_{j}
으로 정의된다. 벡터 \\vec{x} 와 \\vec{y} 는
\\displaystyle \\vec{x} = \\sum_{i = 1}^{n} {x}^{i} {\\hat{\\mathbf{e}}}_{i} \\, , \\; \\vec{y} = \\sum_{i = 1}^{n} {y}^{i} {\\hat{\\mathbf{e}}}_{i}
으로 정의되기 때문에 두 벡터의 내적은
\\displaystyle \\vec{x} \\cdot \\vec{y} = \\sum_{i, j = 1}^{n} {g}_{i j} {x}^{i} {y}^{j}
이다.
1.3. L1 공간 ✎ ⊖
L^1 공간에서 임의의 벡터 f, g의 내적은 다음과 같이 정의된다.
\\displaystyle \\langle f , g \\rangle = \\int_{-\\pi} ^\\pi f(x)g(x) dx
정적분 값이기 때문에 언제나 실수이다.
\\displaystyle \\langle f , g \\rangle = \\int_{-\\pi} ^\\pi f(x)g(x) dx
정적분 값이기 때문에 언제나 실수이다.
1.4. L2 공간 ✎ ⊖
{L}^{2} 공간에서의 벡터를 디랙 표기법에 따라 나타내면 | f \\rangle 로 나타낼 수 있다. 이것은 선형대수학에서의 벡터와 비슷한 형태라고 생각하면 된다. 따라서 두 벡터 | f \\rangle 와 | g \\rangle 의 내적은 다음과 같이 정의된다.
\\displaystyle \\langle f | g \\rangle = \\int_{X} {f}^{\\ast}(x) g(x) \\, d x
여기서도 벡터의 놈은 언제나 실수로 정의된다.
\\displaystyle \\langle f | g \\rangle = \\int_{X} {f}^{\\ast}(x) g(x) \\, d x
여기서도 벡터의 놈은 언제나 실수로 정의된다.
