다항식 (편집) - 시드위키

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Polynomial

[math(x^2+8x+7)]과 같이, 미지의 [math(x)]와 그 계수의 곱들의 합의 표현이다.

== 정의 ==
임의의 환 [math(R)]의 원소 [math(a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n)]과 [math(R)]의 원소가 아닌 [math(x)]에 대해

[math(a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n)]

꼴의 식을 다항식이라고 한다. 이때 [math(x)]를 부정원[* [math(R)]의 원소가 아니라는 데에서 실질적으로는 큰 의미 없이 기호로서만의 의미를 가지는 무언가라고 생각할 수 있다. 어렵게 생각할 것 없다: 그냥 미지의 기호이다!]이라 하고, [math(x)]를 부정원으로 삼는 모든 다항식들의 집합을 [math(R[x])]라 한다.

== 연산 ==
다항식 [math(f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i)], [math(g(x)=\sum_{i=0}^n b_ix^i)]의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 주어진다.

* [math(\displaystyle f(x)+g(x)=\sum_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k)]
* [math(\displaystyle f(x)g(x)=\sum_{k=0}^n\left(\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}\right)x^k)]

== 무한수열을 이용한 다항식의 구성 ==
=== 정의 ===
환 [math(R)]의 원소를 계수로 가지는 다항식은 무한수열로 정의한다.

[math(\left(a_0,a_1,a_2,\cdots\right))]

단, [math(a_0,a_1,a_2,\cdots\in R)]이며 영이 아닌 [math(a_i)]는 유한 개이다. 다시 말해 어떤 자연수 [math(k)]가 존재하여 임의의 양의 정수 [math(i>k)]에 대해 [math(a_i=0)]이다.

=== 연산 ===
[math(P)]를 항등원이 있는 환 [math(R)]의 원소를 계수로 가지는 모든 다항식의 집합이라 하자. [math(P)] 위의 연산 [math(+)]와 [math(\cdot)]을 다음과 같이 정의한다.

[math((a_0,a_1,a_2,\cdots)+(b_0,b_1,b_2,\cdots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots))]
[math((a_0,a_1,a_2,\cdots)\cdot(b_0,b_1,b_2,\cdots)=(c_0,c_1,c_2,\cdots))]

이때, [math(\displaystyle c_n=\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i})]이다. 이때 [math(+)]와 [math(\cdot)]가 잘 정의되어 있음이 알려져 있다. [math(P)]는 항등원이 있는 환이며, [math(R)]이 가환이면 [math(P)] 또한 가환이다.

=== 계수와 부정원 ===
[math(R^*)]을 모든 [math((r,0,0,\cdots)\in P)]들의 집합으로 정의하면 [math(R^*)]는 [math(P)]의 부분환이고 [math(R)]과 동형이다.

[math(\mathbf{a}\in R^*)]를 다음과 같이 정의한다.

[math(\mathbf{a}=(a,0_R,0_R,\cdots))]

[math(R)]이 항등원이 있는 환이면, [math(x\in P)]를 다음과 같이 정의한다.

[math(x=(0_R,1_R,0_R,\cdots))]

그러면

[math(x^n=(0_R,\cdots,1_R,0_R\cdots))]
[math(\mathbf{a}x^n=(0_R,\cdots,a,0_R\cdots))]

을 얻는다. 이때 [math(1_R)]은 수열의 [math(n)]번째 자리에 있다.

== 다항함수의 유도 ==
[math(R)]을 가환환이라 하자. 다항식 [math(a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in R[x])]에 대해, 함수 [math(f:R\to R)]을 다음과 같이 정의한다.

[math((\forall r\in \mathbb{R})[f(r)=a_0+a_1r+a_2r^2+\cdots+a_nr^n])]

이때, [math(f)]를 다항함수라고 한다.

== 참고문헌 ==
* Hungerford, T. (2014). ''Abstract algebra: An introduction'' (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336

== 영상 ==
[youtube(ZsHge3awCWA)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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