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다항식

최근 수정 시각 : 2023-04-24 00:40:39 | 조회수 : 27
Polynomial

x2+8x+7x^2+8x+7과 같이, 미지의 xx와 그 계수의 곱들의 합의 표현이다.

목차

1. 정의
2. 연산
3. 무한수열을 이용한 다항식의 구성
3.1. 정의
3.2. 연산
3.3. 계수와 부정원
4. 다항함수의 유도
5. 참고문헌
6. 영상

1. 정의 ✎ ⊖

임의의 환 RR의 원소 a0,a1,a2,⋯ ,ana_0,a_1,a_2,\cdots,a_n과 RR의 원소가 아닌 xx에 대해

a0+a1x+a2x2+⋯+anxna_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n

꼴의 식을 다항식이라고 한다. 이때 xx를 부정원(1)이라 하고, xx를 부정원으로 삼는 모든 다항식들의 집합을 R[x]R[x]라 한다.

2. 연산 ✎ ⊖

다항식 f(x)=∑i=0naixif(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i, g(x)=∑i=0nbixig(x)=\sum_{i=0}^n b_ix^i의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 주어진다.
  • f(x)+g(x)=∑k=0n(ak+bk)xk\displaystyle f(x)+g(x)=\sum_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k
  • f(x)g(x)=∑k=0n(∑i=0kaibk−i)xk\displaystyle f(x)g(x)=\sum_{k=0}^n\left(\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}\right)x^k

3. 무한수열을 이용한 다항식의 구성 ✎ ⊖

3.1. 정의 ✎ ⊖

환 RR의 원소를 계수로 가지는 다항식은 무한수열로 정의한다.

(a0,a1,a2,⋯ )\left(a_0,a_1,a_2,\cdots\right)

단, a0,a1,a2,⋯∈Ra_0,a_1,a_2,\cdots\in R이며 영이 아닌 aia_i는 유한 개이다. 다시 말해 어떤 자연수 kk가 존재하여 임의의 양의 정수 i>ki>k에 대해 ai=0a_i=0이다.

3.2. 연산 ✎ ⊖

PP를 항등원이 있는 환 RR의 원소를 계수로 가지는 모든 다항식의 집합이라 하자. PP 위의 연산 ++와 ⋅\cdot을 다음과 같이 정의한다.

(a0,a1,a2,⋯ )+(b0,b1,b2,⋯ )=(a0+b0,a1+b1,a2+b2,⋯ )(a_0,a_1,a_2,\cdots)+(b_0,b_1,b_2,\cdots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots)
(a0,a1,a2,⋯ )⋅(b0,b1,b2,⋯ )=(c0,c1,c2,⋯ )(a_0,a_1,a_2,\cdots)\cdot(b_0,b_1,b_2,\cdots)=(c_0,c_1,c_2,\cdots)

이때, cn=∑i=0naibn−i\displaystyle c_n=\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}이다. 이때 ++와 ⋅\cdot가 잘 정의되어 있음이 알려져 있다. PP는 항등원이 있는 환이며, RR이 가환이면 PP 또한 가환이다.

3.3. 계수와 부정원 ✎ ⊖

R∗R^*을 모든 (r,0,0,⋯ )∈P(r,0,0,\cdots)\in P들의 집합으로 정의하면 R∗R^*는 PP의 부분환이고 RR과 동형이다.

a∈R∗\mathbf{a}\in R^*를 다음과 같이 정의한다.

a=(a,0R,0R,⋯ )\mathbf{a}=(a,0_R,0_R,\cdots)

RR이 항등원이 있는 환이면, x∈Px\in P를 다음과 같이 정의한다.

x=(0R,1R,0R,⋯ )x=(0_R,1_R,0_R,\cdots)

그러면

xn=(0R,⋯ ,1R,0R⋯ )x^n=(0_R,\cdots,1_R,0_R\cdots)
axn=(0R,⋯ ,a,0R⋯ )\mathbf{a}x^n=(0_R,\cdots,a,0_R\cdots)

을 얻는다. 이때 1R1_R은 수열의 nn번째 자리에 있다.

4. 다항함수의 유도 ✎ ⊖

RR을 가환환이라 하자. 다항식 a0+a1x+⋯+anxn∈R[x]a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in R[x]에 대해, 함수 f:R→Rf:R\to R을 다음과 같이 정의한다.

(∀r∈R)[f(r)=a0+a1r+a2r2+⋯+anrn](\forall r\in \mathbb{R})[f(r)=a_0+a_1r+a_2r^2+\cdots+a_nr^n]

이때, ff를 다항함수라고 한다.

5. 참고문헌 ✎ ⊖

  • Hungerford, T. (2014). Abstract algebra: An introduction (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336

6. 영상 ✎ ⊖



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(1) RR의 원소가 아니라는 데에서 실질적으로는 큰 의미 없이 기호로서만의 의미를 가지는 무언가라고 생각할 수 있다. 어렵게 생각할 것 없다: 그냥 미지의 기호이다!