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Polynomial
x^2+8x+7과 같이, 미지의 x와 그 계수의 곱들의 합의 표현이다.
1. 정의 ✎ ⊖
임의의 환 R의 원소 a_0,a_1,a_2,\\cdots,a_n과 R의 원소가 아닌 x에 대해
a_0+a_1x+a_2x^2+\\cdots+a_nx^n
꼴의 식을 다항식이라고 한다. 이때 x를 부정원(1)이라 하고, x를 부정원으로 삼는 모든 다항식들의 집합을 R[x]라 한다.
a_0+a_1x+a_2x^2+\\cdots+a_nx^n
꼴의 식을 다항식이라고 한다. 이때 x를 부정원(1)이라 하고, x를 부정원으로 삼는 모든 다항식들의 집합을 R[x]라 한다.
2. 연산 ✎ ⊖
다항식 f(x)=\\sum_{i=0}^n a_ix^i, g(x)=\\sum_{i=0}^n b_ix^i의 덧셈과 곱셈은 다음과 같이 주어진다.
- \\displaystyle f(x)+g(x)=\\sum_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k
- \\displaystyle f(x)g(x)=\\sum_{k=0}^n\\left(\\sum_{i=0}^k a_ib_{k-i}\\right)x^k
3. 무한수열을 이용한 다항식의 구성 ✎ ⊖
3.1. 정의 ✎ ⊖
환 R의 원소를 계수로 가지는 다항식은 무한수열로 정의한다.
\\left(a_0,a_1,a_2,\\cdots\\right)
단, a_0,a_1,a_2,\\cdots\\in R이며 영이 아닌 a_i는 유한 개이다. 다시 말해 어떤 자연수 k가 존재하여 임의의 양의 정수 i>k에 대해 a_i=0이다.
\\left(a_0,a_1,a_2,\\cdots\\right)
단, a_0,a_1,a_2,\\cdots\\in R이며 영이 아닌 a_i는 유한 개이다. 다시 말해 어떤 자연수 k가 존재하여 임의의 양의 정수 i>k에 대해 a_i=0이다.
3.2. 연산 ✎ ⊖
P를 항등원이 있는 환 R의 원소를 계수로 가지는 모든 다항식의 집합이라 하자. P 위의 연산 +와 \\cdot을 다음과 같이 정의한다.
(a_0,a_1,a_2,\\cdots)+(b_0,b_1,b_2,\\cdots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\\cdots)
(a_0,a_1,a_2,\\cdots)\\cdot(b_0,b_1,b_2,\\cdots)=(c_0,c_1,c_2,\\cdots)
이때, \\displaystyle c_n=\\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}이다. 이때 +와 \\cdot가 잘 정의되어 있음이 알려져 있다. P는 항등원이 있는 환이며, R이 가환이면 P 또한 가환이다.
(a_0,a_1,a_2,\\cdots)+(b_0,b_1,b_2,\\cdots)=(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2,\\cdots)
(a_0,a_1,a_2,\\cdots)\\cdot(b_0,b_1,b_2,\\cdots)=(c_0,c_1,c_2,\\cdots)
이때, \\displaystyle c_n=\\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}이다. 이때 +와 \\cdot가 잘 정의되어 있음이 알려져 있다. P는 항등원이 있는 환이며, R이 가환이면 P 또한 가환이다.
3.3. 계수와 부정원 ✎ ⊖
R^*을 모든 (r,0,0,\\cdots)\\in P들의 집합으로 정의하면 R^*는 P의 부분환이고 R과 동형이다.
\\mathbf{a}\\in R^*를 다음과 같이 정의한다.
\\mathbf{a}=(a,0_R,0_R,\\cdots)
R이 항등원이 있는 환이면, x\\in P를 다음과 같이 정의한다.
x=(0_R,1_R,0_R,\\cdots)
그러면
x^n=(0_R,\\cdots,1_R,0_R\\cdots)
\\mathbf{a}x^n=(0_R,\\cdots,a,0_R\\cdots)
을 얻는다. 이때 1_R은 수열의 n번째 자리에 있다.
\\mathbf{a}\\in R^*를 다음과 같이 정의한다.
\\mathbf{a}=(a,0_R,0_R,\\cdots)
R이 항등원이 있는 환이면, x\\in P를 다음과 같이 정의한다.
x=(0_R,1_R,0_R,\\cdots)
그러면
x^n=(0_R,\\cdots,1_R,0_R\\cdots)
\\mathbf{a}x^n=(0_R,\\cdots,a,0_R\\cdots)
을 얻는다. 이때 1_R은 수열의 n번째 자리에 있다.
4. 다항함수의 유도 ✎ ⊖
R을 가환환이라 하자. 다항식 a_0+a_1x+\\cdots+a_nx^n\\in R[x]에 대해, 함수 f:R\\to R을 다음과 같이 정의한다.
(\\forall r\\in \\mathbb{R})[f(r)=a_0+a_1r+a_2r^2+\\cdots+a_nr^n]
이때, f를 다항함수라고 한다.
(\\forall r\\in \\mathbb{R})[f(r)=a_0+a_1r+a_2r^2+\\cdots+a_nr^n]
이때, f를 다항함수라고 한다.
5. 참고문헌 ✎ ⊖
- Hungerford, T. (2014). Abstract algebra: An introduction (3rd ed., International ed.). Australia: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 1111573336
6. 영상 ✎ ⊖
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(1) R의 원소가 아니라는 데에서 실질적으로는 큰 의미 없이 기호로서만의 의미를 가지는 무언가라고 생각할 수 있다. 어렵게 생각할 것 없다: 그냥 미지의 기호이다!
