대수적 정수환 (편집)

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Ring of algebraic integers

[[대수적 수체]]의 원소 중 정수 계수 모닉 다항식의 해인 것들의 집합을 말한다. 보통 줄여서 정수환(Ring of integers)이라고 부르고, 수체 [math(\displaystyle K)]의 정수환(the ring of integers of K)을 통상적으로 [math(\displaystyle \mathcal{O}_K)] 또는 [math(\displaystyle O_K)]로 표시한다.

== 정수 기저 ==
=== 정수 기저의 존재성 ===
차수가 [math(n)]인 수체 [math(K)]의 정수환 [math(O_K)]는 계수가 [math(n)]인 자유 [math(\mathbb Z)]-가군이다.

==== 보조정리 ====
정수적으로 닫힌 환 [math(\displaystyle A)]와 표수가 0인 그 분수체 [math(\displaystyle K)]의 [math(\displaystyle n)]차 확장 [math(\displaystyle L)]에 대하여 [math(\displaystyle L)]에서의 [math(\displaystyle A)]의 정수적 폐포 [math(\displaystyle B)]는 계수가 [math(\displaystyle n)]인 자유 [math(\displaystyle A-)]가군의 부분 가군이다.

===== 증명 =====
[math(\displaystyle (x_1, x_2,\cdots ,x_n))]을 [math(\displaystyle K)]상의 벡터 공간 [math(\displaystyle L)]의 기저라고하자. 각각의 [math(\displaystyle x_i)]에 대해 [math(\displaystyle a_{n}x_i^{n}+a_{n-1}x_i^{n-1}+\cdots+a_0=0 (a_k\in A, a_n\ne 0))]인 [math(\displaystyle a_1, a_2,\cdots ,a_n)]가 존재하고 양변을 [math(\displaystyle a_{n}^{n-1})]로 곱하면 [math(\displaystyle a_nx_i)]는 [math(\displaystyle A)]상에서 정수적이다. 이 때, [math(\displaystyle x_i'=a_nx_i)]라하면 B의 원소 [math(\displaystyle (x_1', x_2',\cdots ,x_n'))]는 [math(\displaystyle K)]상의 벡터 공간 L의 기저가 된다.

한편 [math(\displaystyle K)]에서의 L로의 트레이스는 비퇴화 겹선형 형식이므로 [math(\displaystyle Tr(x_i'y_j)=\delta_{ij})]인 [math(\displaystyle L)]의 기저 [math(\displaystyle (y_1, y_2,\cdots ,y_n))]이 존재하고 [math(\displaystyle z=\sum_{j=1}^{n}b_jy_j)]라 하면 [math(\displaystyle x_i'z\in A)]의 트레이스 [math(\displaystyle Tr(x_i'z)=Tr(\sum_{j=1}^{n}b_jx_i'y_j)=b_jTr(\sum_{j=1}^{n}x_i'y_j)=\sum b_j\delta_{ij}=b_j)]역시 [math(\displaystyle A)]의 원소이므로 [math(\displaystyle B)]는 자유 [math(\displaystyle A)]-가군의 부분 가군이다.

==== 증명 ====
보조정리1에 따라 [math(\displaystyle O_K)]는 자유 [math(\displaystyle \mathbb Z)]-가군의 부분 가군이다. 한편, [[유한 생성 가군#PID 상의 유한 생성 가군|계수가 [math(n)]인 PID 상의 자유 가군의 부분 가군은 [math(n)]이하의 계수를 가진 자유 가군]]이고, [math(\displaystyle O_K)]의 원소인 K상의 벡터 공간 L의 기저가 있으므로, [math(\displaystyle O_K)]는 계수가 [math(\displaystyle n)]인 자유 [math(\displaystyle \mathbb Z)]-가군이다.

이 때, [math(\displaystyle O_K)]의 기저를 '''정수 기저'''(integral basis)라고 부른다.

== 단일 생성 수체 ==
수체 [math(\displaystyle K)]의 정수환 [math(\displaystyle O_K)]가 [math(\displaystyle \mathbb Z[\alpha](\alpha\in O_K))]꼴일 때, K를 단일 생성 수체(monogenic number field)라고 한다. 단일 생성 수체의 정수환은 거듭제곱 정수 기저 1, [math(\displaystyle \alpha)],[math(\displaystyle \cdots)] ,[math(\displaystyle \alpha^{n-1})]을 가진다. 이 때, K의 판별식은 [math(\displaystyle \alpha)]의 최소 다항식의 판별식과 일치한다.

== 예시 ==
* 유리수체 [math(\mathbb{Q})]의 정수환은 [math(\mathbb{Z})]이다.
* 이차 수체 [math(\mathbb{Q(\sqrt d)})][* [math(d)]는 0이 아닌 제곱 인수가 없는 수]의 정수환은 [math(d\equiv 1 \pmod{4})]이면 [math(\mathbb{Z[(1+\sqrt d)/2]})]이고, [math(d\equiv 2,3 \pmod{4})]이면 [math(\mathbb{Z[\sqrt d]})]이다.
* 원분체 [math(\mathbb{Q}(\zeta))][* [math(\zeta)]는 primitive [math(p)]th root of unity, [math(p)]는 홀소수]의 정수환은 [math(\mathbb{Z}[\zeta])]이다.
* 삼차 수체 [math(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}))]의 정수환은 [math(\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}])]이다.

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== 정수 기저 ==
=== 정수 기저의 존재성 ===
차수가 [math(n)]인 수체 [math(K)]의 정수환 [math(O_K)]는 계수가 [math(n)]인 자유 [math(\mathbb Z)]-가군이다.

이 때, [math(\displaystyle O_K)]의 기저를 '''정수 기저'''(integral basis)라고 부른다.

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