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Ring of algebraic integers
대수적 수체의 원소 중 정수 계수 모닉 다항식의 해인 것들의 집합을 말한다. 보통 줄여서 정수환(Ring of integers)이라고 부르고, 수체 \\displaystyle K의 정수환(the ring of integers of K)을 통상적으로 \\displaystyle \\mathcal{O}_K 또는 \\displaystyle O_K로 표시한다.
1. 정수 기저 ✎ ⊖
1.1. 정수 기저의 존재성 ✎ ⊖
차수가 n인 수체 K의 정수환 O_K는 계수가 n인 자유 \\mathbb Z-가군이다.
1.1.1. 보조정리 ✎ ⊖
정수적으로 닫힌 환 \\displaystyle A와 표수가 0인 그 분수체 \\displaystyle K의 \\displaystyle n차 확장 \\displaystyle L에 대하여 \\displaystyle L에서의 \\displaystyle A의 정수적 폐포 \\displaystyle B는 계수가 \\displaystyle n인 자유 \\displaystyle A-가군의 부분 가군이다.
1.1.1.1. 증명 ✎ ⊖
\\displaystyle (x_1, x_2,\\cdots ,x_n)을 \\displaystyle K상의 벡터 공간 \\displaystyle L의 기저라고하자. 각각의 \\displaystyle x_i에 대해 \\displaystyle a_{n}x_i^{n}+a_{n-1}x_i^{n-1}+\\cdots+a_0=0 (a_k\\in A, a_n\\ne 0)인 \\displaystyle a_1, a_2,\\cdots ,a_n가 존재하고 양변을 \\displaystyle a_{n}^{n-1}로 곱하면 \\displaystyle a_nx_i는 \\displaystyle A상에서 정수적이다. 이 때, \\displaystyle x_i'=a_nx_i라하면 B의 원소 \\displaystyle (x_1', x_2',\\cdots ,x_n')는 \\displaystyle K상의 벡터 공간 L의 기저가 된다.
한편 \\displaystyle K에서의 L로의 트레이스는 비퇴화 겹선형 형식이므로 \\displaystyle Tr(x_i'y_j)=\\delta_{ij}인 \\displaystyle L의 기저 \\displaystyle (y_1, y_2,\\cdots ,y_n)이 존재하고 \\displaystyle z=\\sum_{j=1}^{n}b_jy_j라 하면 \\displaystyle x_i'z\\in A의 트레이스 \\displaystyle Tr(x_i'z)=Tr(\\sum_{j=1}^{n}b_jx_i'y_j)=b_jTr(\\sum_{j=1}^{n}x_i'y_j)=\\sum b_j\\delta_{ij}=b_j역시 \\displaystyle A의 원소이므로 \\displaystyle B는 자유 \\displaystyle A-가군의 부분 가군이다.
한편 \\displaystyle K에서의 L로의 트레이스는 비퇴화 겹선형 형식이므로 \\displaystyle Tr(x_i'y_j)=\\delta_{ij}인 \\displaystyle L의 기저 \\displaystyle (y_1, y_2,\\cdots ,y_n)이 존재하고 \\displaystyle z=\\sum_{j=1}^{n}b_jy_j라 하면 \\displaystyle x_i'z\\in A의 트레이스 \\displaystyle Tr(x_i'z)=Tr(\\sum_{j=1}^{n}b_jx_i'y_j)=b_jTr(\\sum_{j=1}^{n}x_i'y_j)=\\sum b_j\\delta_{ij}=b_j역시 \\displaystyle A의 원소이므로 \\displaystyle B는 자유 \\displaystyle A-가군의 부분 가군이다.
1.1.2. 증명 ✎ ⊖
보조정리1에 따라 \\displaystyle O_K는 자유 \\displaystyle \\mathbb Z-가군의 부분 가군이다. 한편, 계수가 n인 PID 상의 자유 가군의 부분 가군은 n이하의 계수를 가진 자유 가군이고, \\displaystyle O_K의 원소인 K상의 벡터 공간 L의 기저가 있으므로, \\displaystyle O_K는 계수가 \\displaystyle n인 자유 \\displaystyle \\mathbb Z-가군이다.
이 때, \\displaystyle O_K의 기저를 정수 기저(integral basis)라고 부른다.
이 때, \\displaystyle O_K의 기저를 정수 기저(integral basis)라고 부른다.
2. 단일 생성 수체 ✎ ⊖
수체 \\displaystyle K의 정수환 \\displaystyle O_K가 \\displaystyle \\mathbb Z[\\alpha](\\alpha\\in O_K)꼴일 때, K를 단일 생성 수체(monogenic number field)라고 한다. 단일 생성 수체의 정수환은 거듭제곱 정수 기저 1, \\displaystyle \\alpha,\\displaystyle \\cdots ,\\displaystyle \\alpha^{n-1}을 가진다. 이 때, K의 판별식은 \\displaystyle \\alpha의 최소 다항식의 판별식과 일치한다.
