대수학의 기본 정리 (편집)

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Fundamental theorem of algebra

상수가 아닌 임의의 복소계수 다항식은 적어도 하나의 복소수 근을 갖는다는 정리이다. 달랑베르가 제시했고 가우스가 증명했다고 알려져 있다. 이 정리는 복소수체가 대수적으로 닫혀있음을 뜻한다.

== 진술 ==
상수가 아닌 임의의 복소계수 다항식은 적어도 하나의 복소수 근을 가진다.

== 증명 ==
다음 복소다항식이 근을 갖지 않는다고 가정하자.

[math(f(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n)]

그러면 충분히 큰 [math(R>0)]이 있어 [math(|z|>R)]이면

[math(|a_0|+|a_1||z|+\cdots+|a_{n-1}||z|^{n-1}<\frac{1}{2} |a_n||z|^n)]

이다. 이는 좌변과 우변의 비의 극한을 계산하면 알 수 있다.

따라서 [math(|z|>R)]이면 [math(\frac{|a_n|}{2} |z|^n \le |f(z)|\le\frac{3|a_n|}{2}|z|^n)]이다. 그리고 다음 영역은 컴팩트하다.

[math(\overline{B}(0,R)=\{z\in\Bbb{C} : |z|\le R\})]

그러므로 [math(|f|)]를 최소로 만드는 [math(z_0)]가 존재하고, 특히 [math(f(z)\neq 0)]에서 [math(|f(z_0)|>0)] 이다. 이제

[math(\displaystyle 0<|\frac{1}{f(z)}|\le \frac{1}{m}\ (\displaystyle m=\min\{\frac{1}{2}|a_n|R^n,|f(z_0)|\}))]

이 성립한다. 따라서 [math(\displaystyle \frac{1}{f})] 는 유계인 전해석함수이므로 이는 리우빌의 정리에 의해 상수함수이고 복소평면 전체에서 항등적으로 [math(0)]이다.

다시 말해, 상수가 아닌 다항식 [math(f)]는 적어도 하나의 영점을 갖는다. ■

== 따름정리 ==
다음 정리는 대수학의 기본 정리에 의해 자명하게 유도된다.

임의의 [math(n)]차 복소계수 다항식은 (중근까지 고려하여) [math(n)]개의 복소수근을 갖는다.

== 영상 ==
[youtube(PkjH5M1mgRw)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]