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Fundamental theorem of algebra
상수가 아닌 임의의 복소계수 다항식은 적어도 하나의 복소수 근을 갖는다는 정리이다. 달랑베르가 제시했고 가우스가 증명했다고 알려져 있다. 이 정리는 복소수체가 대수적으로 닫혀있음을 뜻한다.
1. 진술 ✎ ⊖
상수가 아닌 임의의 복소계수 다항식은 적어도 하나의 복소수 근을 가진다.
2. 증명 ✎ ⊖
다음 복소다항식이 근을 갖지 않는다고 가정하자.
f(z)=a_0+a_1z+\\cdots+a_nz^n
그러면 충분히 큰 R>0이 있어 |z|>R이면
|a_0|+|a_1||z|+\\cdots+|a_{n-1}||z|^{n-1}<\\frac{1}{2} |a_n||z|^n
이다. 이는 좌변과 우변의 비의 극한을 계산하면 알 수 있다.
따라서 |z|>R이면 \\frac{|a_n|}{2} |z|^n \\le |f(z)|\\le\\frac{3|a_n|}{2}|z|^n이다. 그리고 다음 영역은 컴팩트하다.
\\overline{B}(0,R)=\\{z\\in\\Bbb{C} : |z|\\le R\\}
그러므로 |f|를 최소로 만드는 z_0가 존재하고, 특히 f(z)\\neq 0에서 |f(z_0)|>0 이다. 이제
\\displaystyle 0<|\\frac{1}{f(z)}|\\le \\frac{1}{m}\\ (\\displaystyle m=\\min\\{\\frac{1}{2}|a_n|R^n,|f(z_0)|\\})
이 성립한다. 따라서 \\displaystyle \\frac{1}{f} 는 유계인 전해석함수이므로 이는 리우빌의 정리에 의해 상수함수이고 복소평면 전체에서 항등적으로 0이다.
다시 말해, 상수가 아닌 다항식 f는 적어도 하나의 영점을 갖는다. ■
f(z)=a_0+a_1z+\\cdots+a_nz^n
그러면 충분히 큰 R>0이 있어 |z|>R이면
|a_0|+|a_1||z|+\\cdots+|a_{n-1}||z|^{n-1}<\\frac{1}{2} |a_n||z|^n
이다. 이는 좌변과 우변의 비의 극한을 계산하면 알 수 있다.
따라서 |z|>R이면 \\frac{|a_n|}{2} |z|^n \\le |f(z)|\\le\\frac{3|a_n|}{2}|z|^n이다. 그리고 다음 영역은 컴팩트하다.
\\overline{B}(0,R)=\\{z\\in\\Bbb{C} : |z|\\le R\\}
그러므로 |f|를 최소로 만드는 z_0가 존재하고, 특히 f(z)\\neq 0에서 |f(z_0)|>0 이다. 이제
\\displaystyle 0<|\\frac{1}{f(z)}|\\le \\frac{1}{m}\\ (\\displaystyle m=\\min\\{\\frac{1}{2}|a_n|R^n,|f(z_0)|\\})
이 성립한다. 따라서 \\displaystyle \\frac{1}{f} 는 유계인 전해석함수이므로 이는 리우빌의 정리에 의해 상수함수이고 복소평면 전체에서 항등적으로 0이다.
다시 말해, 상수가 아닌 다항식 f는 적어도 하나의 영점을 갖는다. ■
3. 따름정리 ✎ ⊖
다음 정리는 대수학의 기본 정리에 의해 자명하게 유도된다.
임의의 n차 복소계수 다항식은 (중근까지 고려하여) n개의 복소수근을 갖는다.
임의의 n차 복소계수 다항식은 (중근까지 고려하여) n개의 복소수근을 갖는다.
