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대수학의 기본 정리
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209,968
== 증명 == 다음 복소다항식이 근을 갖지 않는다고 가정하자. [math(f(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n)] 그러면 충분히 큰 [math(R>0)]이 있어 [math(|z|>R)]이면 [math(|a_0|+|a_1||z|+\cdots+|a_{n-1}||z|^{n-1}<\frac{1}{2} |a_n||z|^n)] 이다. 이는 좌변과 우변의 비의 극한을 계산하면 알 수 있다. 따라서 [math(|z|>R)]이면 [math(\frac{|a_n|}{2} |z|^n \le |f(z)|\le\frac{3|a_n|}{2}|z|^n)]이다. 그리고 다음 영역은 컴팩트하다. [math(\overline{B}(0,R)=\{z\in\Bbb{C} : |z|\le R\})] 그러므로 [math(|f|)]를 최소로 만드는 [math(z_0)]가 존재하고, 특히 [math(f(z)\neq 0)]에서 [math(|f(z_0)|>0)] 이다. 이제 [math(\displaystyle 0<|\frac{1}{f(z)}|\le \frac{1}{m}\ (\displaystyle m=\min\{\frac{1}{2}|a_n|R^n,|f(z_0)|\}))] 이 성립한다. 따라서 [math(\displaystyle \frac{1}{f})] 는 유계인 전해석함수이므로 이는 리우빌의 정리에 의해 상수함수이고 복소평면 전체에서 항등적으로 [math(0)]이다. 다시 말해, 상수가 아닌 다항식 [math(f)]는 적어도 하나의 영점을 갖는다. ■
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== 증명 == 다음 복소다항식이 근을 갖지 않는다고 가정하자. [math(f(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n)] 그러면 충분히 큰 [math(R>0)]이 있어 [math(|z|>R)]이면 [math(|a_0|+|a_1||z|+\cdots+|a_{n-1}||z|^{n-1}<\frac{1}{2} |a_n||z|^n)] 이다. 이는 좌변과 우변의 비의 극한을 계산하면 알 수 있다. 따라서 [math(|z|>R)]이면 [math(\frac{|a_n|}{2} |z|^n \le |f(z)|\le\frac{3|a_n|}{2}|z|^n)]이다. 그리고 다음 영역은 컴팩트하다. [math(\overline{B}(0,R)=\{z\in\Bbb{C} : |z|\le R\})] 그러므로 [math(|f|)]를 최소로 만드는 [math(z_0)]가 존재하고, 특히 [math(f(z)\neq 0)]에서 [math(|f(z_0)|>0)] 이다. 이제 [math(\displaystyle 0<|\frac{1}{f(z)}|\le \frac{1}{m}\ (\displaystyle m=\min\{\frac{1}{2}|a_n|R^n,|f(z_0)|\}))] 이 성립한다. 따라서 [math(\displaystyle \frac{1}{f})] 는 유계인 전해석함수이므로 이는 리우빌의 정리에 의해 상수함수이고 복소평면 전체에서 항등적으로 [math(0)]이다. 다시 말해, 상수가 아닌 다항식 [math(f)]는 적어도 하나의 영점을 갖는다. ■
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