데데킨트 절단 (편집)

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Dedekind cut

[[유리수|유리수 집합]]을 두 구간으로 나누는 것을 말한다. 데데킨트 절단을 통해 실수 집합을 정의하고 그 완비성을 보일 수 있다.

== 진술 ==
순서집합 [math(\mathbb{Q})] 의 부분집합 [math(A)] 에 대해 다음이 성립하면, [math(\mathbb{Q})] 는 [math(A)] 로 데데킨트 절단되었다고 한다.

* [math(A\neq \varnothing,\ A\neq \mathbb{Q})] 
* [math(a\in A,\ \exists b\in\mathbb{Q} \ s.t.\ b<a \to b\in A)] 
* [math(\forall a\in A\ \exists b\in A\ s.t.\ a<b)]

다시 말해 모든 [math(\mathbb{Q}-A)] 의 원소는 [math(A)] 의 원소보다 크고 [math(A)] 는 가장 큰 원소를 갖지 않는다.

== 실수 집합의 정의 ==
실수 집합은 다음의 존재성을 보임으로써 정의할 수 있다.

>공집합이 아닌 [math(X\subseteq R)] 가 위로 유계이면 [math(X)] 의 상한이 [math(R)] 에 존재하는 순서체 [math(R)] 이 존재한다.

간단히 말해, 완비성을 만족하는 순서체 [math(R)] 이 존재한다. 그런 [math(R)] 은 모두 동형이고 [math(\Bbb Q)] 와 동형인 부분체를 가지는데, 이 [math(R)] 이 우리가 아는 [math(\mathbb{R})] 이며 그 원소를 실수라고 한다.

=== 증명 ===
집합 [math(R)] 이 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})] 의 데데킨트 절단을 원소로 갖는다고 하면 [math((R, \subset))] 는 순서집합이다. 공집합이 아닌 [math(X\subseteq R)] 가 위로 유계이면 [math(\bigcup X)] 는 [math(X)] 가 위로 유계이므로 [math(\mathbb{Q})] 가 아니고, [math(a \in \bigcup X)] 는 어떤 [math(A \in X )] 에 대해 [math(a \in A)] 인데 [math(b<a)] 이면 [math(b\in A)] 이므로 [math(b \in \bigcup X)] 이고, [math(c \in A)] 가 [math(a<c)] 이면 [math(c\in \bigcup X)] 이므로 [math(\bigcup X)] 는 데데킨트 절단이며 모든 [math(A \in X)] 에 대해 [math(A \subseteq \bigcup X)] 이므로 [math(\bigcup X= \sup X \in R)] 를 얻는다.

집합 [math(A,\ B \in R)] 에 대해 [math(A+B = \{ r+s\ |\ r\in A,\ s\in B \})] 라 하고, 집합 [math(O = \{q\in Q \ | \ q<0 \})] 와 [math(A,\ B \in \{ C\in R\ |\ C\supset O \})] 에 대해 [math(AO=OA=O)] 고 [math(AB = \{ p \in Q\ |\ p < rs,\ r > 0,\ s > 0,\ r \in A,\ s\in B\})] 라 하면 [math(R)] 은 순서체로서의 조건을 만족한다.

=== 유리수와 무리수 ===
유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})] 를 데데킨트 절단했을 때, 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다.
* [math(A:=\{a\in \mathbb{Q} \mid a<1\})] 에 대해 [math(\mathbb{Q}-A=\{b \in \mathbb{Q} \mid b≥1\})] 이 된다. 
  * [math(\to \mathbb{Q}-A)]의 최소원소는 유리수 [math(1)] 이다.
* [math(A:=\{a\in \mathbb{Q} \mid a^2<2 ∨ a≤0\})] 에 대해 [math(\mathbb{Q}-A=\{b \in \mathbb{Q} \mid b^2≥2 ∧ b>0\})] 이 된다. 
  * [math(\to \mathbb{Q}-A)]의 최소원소는 존재하지 않는다.[* 여기서 [math(b\in \mathbb{R})] 이면 [math(\sqrt{2})] 이다.]

두 번째 경우와 같이 [math(\mathbb{Q})] 를 [math(A)] 로 데데킨트 절단했을 때 [math(\mathbb{Q}-A)] 의 최소원소가 존재하지 않으면 절단된 지점은 유리수에 대응되지 않고, 따라서 유리수 집합은 연속성을 가지지 않는다. 이 때의 절단된 지점을 무리수라고 하면, 데데킨트 절단한 모든 경우의 절단된 지점들을 실수 집합에 대응시킬 수 있다.

== 참고문헌 ==
* Walter Rudin (2006) The Principles of Mathematical Analysis. ISBN 0-070-85613-3.

== 영상 ==
[youtube(9g7PcPSxsK0)]

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://archive.ph/y42Gd|링크]])]

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