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Dedekind cut
유리수 집합을 두 구간으로 나누는 것을 말한다. 데데킨트 절단을 통해 실수 집합을 정의하고 그 완비성을 보일 수 있다.
1. 진술 ✎ ⊖
순서집합 \\mathbb{Q} 의 부분집합 A 에 대해 다음이 성립하면, \\mathbb{Q} 는 A 로 데데킨트 절단되었다고 한다.
다시 말해 모든 \\mathbb{Q}-A 의 원소는 A 의 원소보다 크고 A 는 가장 큰 원소를 갖지 않는다.
- A\\neq \\varnothing,\\ A\\neq \\mathbb{Q}
- a\\in A,\\ \\exists b\\in\\mathbb{Q} \\ s.t.\\ b<a \\to b\\in A
- \\forall a\\in A\\ \\exists b\\in A\\ s.t.\\ a<b
다시 말해 모든 \\mathbb{Q}-A 의 원소는 A 의 원소보다 크고 A 는 가장 큰 원소를 갖지 않는다.
2. 실수 집합의 정의 ✎ ⊖
실수 집합은 다음의 존재성을 보임으로써 정의할 수 있다.
간단히 말해, 완비성을 만족하는 순서체 R 이 존재한다. 그런 R 은 모두 동형이고 \\Bbb Q 와 동형인 부분체를 가지는데, 이 R 이 우리가 아는 \\mathbb{R} 이며 그 원소를 실수라고 한다.
공집합이 아닌 X\\subseteq R 가 위로 유계이면 X 의 상한이 R 에 존재하는 순서체 R 이 존재한다.
간단히 말해, 완비성을 만족하는 순서체 R 이 존재한다. 그런 R 은 모두 동형이고 \\Bbb Q 와 동형인 부분체를 가지는데, 이 R 이 우리가 아는 \\mathbb{R} 이며 그 원소를 실수라고 한다.
2.1. 증명 ✎ ⊖
집합 R 이 유리수 전체의 집합 \\mathbb{Q} 의 데데킨트 절단을 원소로 갖는다고 하면 (R, \\subset) 는 순서집합이다. 공집합이 아닌 X\\subseteq R 가 위로 유계이면 \\bigcup X 는 X 가 위로 유계이므로 \\mathbb{Q} 가 아니고, a \\in \\bigcup X 는 어떤 A \\in X 에 대해 a \\in A 인데 b<a 이면 b\\in A 이므로 b \\in \\bigcup X 이고, c \\in A 가 a<c 이면 c\\in \\bigcup X 이므로 \\bigcup X 는 데데킨트 절단이며 모든 A \\in X 에 대해 A \\subseteq \\bigcup X 이므로 \\bigcup X= \\sup X \\in R 를 얻는다.
집합 A,\\ B \\in R 에 대해 A+B = \\{ r+s\\ |\\ r\\in A,\\ s\\in B \\} 라 하고, 집합 O = \\{q\\in Q \\ | \\ q<0 \\} 와 A,\\ B \\in \\{ C\\in R\\ |\\ C\\supset O \\} 에 대해 AO=OA=O 고 AB = \\{ p \\in Q\\ |\\ p < rs,\\ r > 0,\\ s > 0,\\ r \\in A,\\ s\\in B\\} 라 하면 R 은 순서체로서의 조건을 만족한다.
집합 A,\\ B \\in R 에 대해 A+B = \\{ r+s\\ |\\ r\\in A,\\ s\\in B \\} 라 하고, 집합 O = \\{q\\in Q \\ | \\ q<0 \\} 와 A,\\ B \\in \\{ C\\in R\\ |\\ C\\supset O \\} 에 대해 AO=OA=O 고 AB = \\{ p \\in Q\\ |\\ p < rs,\\ r > 0,\\ s > 0,\\ r \\in A,\\ s\\in B\\} 라 하면 R 은 순서체로서의 조건을 만족한다.
2.2. 유리수와 무리수 ✎ ⊖
유리수 전체의 집합 \\mathbb{Q} 를 데데킨트 절단했을 때, 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다.
두 번째 경우와 같이 \\mathbb{Q} 를 A 로 데데킨트 절단했을 때 \\mathbb{Q}-A 의 최소원소가 존재하지 않으면 절단된 지점은 유리수에 대응되지 않고, 따라서 유리수 집합은 연속성을 가지지 않는다. 이 때의 절단된 지점을 무리수라고 하면, 데데킨트 절단한 모든 경우의 절단된 지점들을 실수 집합에 대응시킬 수 있다.
- A:=\\{a\\in \\mathbb{Q} \\mid a<1\\} 에 대해 \\mathbb{Q}-A=\\{b \\in \\mathbb{Q} \\mid b≥1\\} 이 된다.
- \\to \\mathbb{Q}-A의 최소원소는 유리수 1 이다.
- A:=\\{a\\in \\mathbb{Q} \\mid a^2<2 ∨ a≤0\\} 에 대해 \\mathbb{Q}-A=\\{b \\in \\mathbb{Q} \\mid b^2≥2 ∧ b>0\\} 이 된다.
- \\to \\mathbb{Q}-A의 최소원소는 존재하지 않는다.(1)
두 번째 경우와 같이 \\mathbb{Q} 를 A 로 데데킨트 절단했을 때 \\mathbb{Q}-A 의 최소원소가 존재하지 않으면 절단된 지점은 유리수에 대응되지 않고, 따라서 유리수 집합은 연속성을 가지지 않는다. 이 때의 절단된 지점을 무리수라고 하면, 데데킨트 절단한 모든 경우의 절단된 지점들을 실수 집합에 대응시킬 수 있다.
3. 참고문헌 ✎ ⊖
- Walter Rudin (2006) The Principles of Mathematical Analysis. ISBN 0-070-85613-3.
