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데데킨트 절단
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1606,2281
=== 유리수와 무리수 === 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})] 를 데데킨트 절단했을 때, 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다. * [math(A:=\{a\in \mathbb{Q} \mid a<1\})] 에 대해 [math(\mathbb{Q}-A=\{b \in \mathbb{Q} \mid b≥1\})] 이 된다. * [math(\to \mathbb{Q}-A)]의 최소원소는 유리수 [math(1)] 이다. * [math(A:=\{a\in \mathbb{Q} \mid a^2<2 ∨ a≤0\})] 에 대해 [math(\mathbb{Q}-A=\{b \in \mathbb{Q} \mid b^2≥2 ∧ b>0\})] 이 된다. * [math(\to \mathbb{Q}-A)]의 최소원소는 존재하지 않는다.[* 여기서 [math(b\in \mathbb{R})] 이면 [math(\sqrt{2})] 이다.] 두 번째 경우와 같이 [math(\mathbb{Q})] 를 [math(A)] 로 데데킨트 절단했을 때 [math(\mathbb{Q}-A)] 의 최소원소가 존재하지 않으면 절단된 지점은 유리수에 대응되지 않고, 따라서 유리수 집합은 연속성을 가지지 않는다. 이 때의 절단된 지점을 무리수라고 하면, 데데킨트 절단한 모든 경우의 절단된 지점들을 실수 집합에 대응시킬 수 있다.
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=== 유리수와 무리수 === 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})] 를 데데킨트 절단했을 때, 다음 두 가지 경우를 생각할 수 있다. * [math(A:=\{a\in \mathbb{Q} \mid a<1\})] 에 대해 [math(\mathbb{Q}-A=\{b \in \mathbb{Q} \mid b≥1\})] 이 된다. * [math(\to \mathbb{Q}-A)]의 최소원소는 유리수 [math(1)] 이다. * [math(A:=\{a\in \mathbb{Q} \mid a^2<2 ∨ a≤0\})] 에 대해 [math(\mathbb{Q}-A=\{b \in \mathbb{Q} \mid b^2≥2 ∧ b>0\})] 이 된다. * [math(\to \mathbb{Q}-A)]의 최소원소는 존재하지 않는다.[* 여기서 [math(b\in \mathbb{R})] 이면 [math(\sqrt{2})] 이다.] 두 번째 경우와 같이 [math(\mathbb{Q})] 를 [math(A)] 로 데데킨트 절단했을 때 [math(\mathbb{Q}-A)] 의 최소원소가 존재하지 않으면 절단된 지점은 유리수에 대응되지 않고, 따라서 유리수 집합은 연속성을 가지지 않는다. 이 때의 절단된 지점을 무리수라고 하면, 데데킨트 절단한 모든 경우의 절단된 지점들을 실수 집합에 대응시킬 수 있다.
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