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데데킨트 절단
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776,1605
=== 증명 === 집합 [math(R)] 이 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})] 의 데데킨트 절단을 원소로 갖는다고 하면 [math((R, \subset))] 는 순서집합이다. 공집합이 아닌 [math(X\subseteq R)] 가 위로 유계이면 [math(\bigcup X)] 는 [math(X)] 가 위로 유계이므로 [math(\mathbb{Q})] 가 아니고, [math(a \in \bigcup X)] 는 어떤 [math(A \in X )] 에 대해 [math(a \in A)] 인데 [math(b<a)] 이면 [math(b\in A)] 이므로 [math(b \in \bigcup X)] 이고, [math(c \in A)] 가 [math(a<c)] 이면 [math(c\in \bigcup X)] 이므로 [math(\bigcup X)] 는 데데킨트 절단이며 모든 [math(A \in X)] 에 대해 [math(A \subseteq \bigcup X)] 이므로 [math(\bigcup X= \sup X \in R)] 를 얻는다. 집합 [math(A,\ B \in R)] 에 대해 [math(A+B = \{ r+s\ |\ r\in A,\ s\in B \})] 라 하고, 집합 [math(O = \{q\in Q \ | \ q<0 \})] 와 [math(A,\ B \in \{ C\in R\ |\ C\supset O \})] 에 대해 [math(AO=OA=O)] 고 [math(AB = \{ p \in Q\ |\ p < rs,\ r > 0,\ s > 0,\ r \in A,\ s\in B\})] 라 하면 [math(R)] 은 순서체로서의 조건을 만족한다.
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=== 증명 === 집합 [math(R)] 이 유리수 전체의 집합 [math(\mathbb{Q})] 의 데데킨트 절단을 원소로 갖는다고 하면 [math((R, \subset))] 는 순서집합이다. 공집합이 아닌 [math(X\subseteq R)] 가 위로 유계이면 [math(\bigcup X)] 는 [math(X)] 가 위로 유계이므로 [math(\mathbb{Q})] 가 아니고, [math(a \in \bigcup X)] 는 어떤 [math(A \in X )] 에 대해 [math(a \in A)] 인데 [math(b<a)] 이면 [math(b\in A)] 이므로 [math(b \in \bigcup X)] 이고, [math(c \in A)] 가 [math(a<c)] 이면 [math(c\in \bigcup X)] 이므로 [math(\bigcup X)] 는 데데킨트 절단이며 모든 [math(A \in X)] 에 대해 [math(A \subseteq \bigcup X)] 이므로 [math(\bigcup X= \sup X \in R)] 를 얻는다. 집합 [math(A,\ B \in R)] 에 대해 [math(A+B = \{ r+s\ |\ r\in A,\ s\in B \})] 라 하고, 집합 [math(O = \{q\in Q \ | \ q<0 \})] 와 [math(A,\ B \in \{ C\in R\ |\ C\supset O \})] 에 대해 [math(AO=OA=O)] 고 [math(AB = \{ p \in Q\ |\ p < rs,\ r > 0,\ s > 0,\ r \in A,\ s\in B\})] 라 하면 [math(R)] 은 순서체로서의 조건을 만족한다.
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