라그랑주 정리 (편집)

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라그랑주 정리(Lagrange's theorem)란 군론의 정리 중 하나로 유한군의 부분군의 위수를 결정해주는 정리 중 하나이다. 특히, 이 정리는 군론의 위수를 완벽하게 결정하며 몫군이 무슨 의미를 가지는지 설명해줄 뿐 아니라 부분군의 갯수를 결정해주기도 한다.

== 진술 ==
[math(G)]가 유한군이고 [math(H)]가 [math(G)]의 부분군이라고 하자. 그러면 [math(H)]의 위수는 [math(G)]의 위수를 나누게 된다.

== 증명의 개요 ==
먼저 우리는 다음을 보자.

||<table align=center><bgcolor=white> [math(G=\displaystyle\bigcup_{g\in G}gH)] ||

그리고 자명하게 모든 [math(g,h∈G)]에 대해서 [math(gH)]와 [math(hH)]의 위수는 같다. 그리고 [math(gH)]와 [math(hH)]는 서로 같거나 또는 서로소이므로

||<table align=center><bgcolor=white> [math(G=\displaystyle\bigsqcup_{g\in G}gH)] ||

가 되고 증명이 끝난다.

== 예제 ==
* 위수가 5 이하인 모든 군은 [[아벨 군]]이다.
* [math(H)]가 [math(G)]의 정규부분군이면 [math(G/H)]의 위수는 [math(|G|/|H|)]가 된다.
* [math(p)]가 소수고 [math(a)]가 [math(p)]로 나누어지지 않는 정수일 때 [math(ap−1≡1(modp))]가 된다.[* 페르마의 소정리]

== 무한군에 대한 라그랑주 정리 ==
선택공리를 가정하면 무한군에 대해서도 라그랑주 정리가 성립함을 증명할 수 있다. 사실, 무한군에 대한 라그랑주 정리는 선택공리와 동치이다.

== 영상 ==
[youtube(OWDQ_ofTHrk)]

[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160316000004/http://mathwiki.net/%EB%9D%BC%EA%B7%B8%EB%9E%91%EC%A3%BC_%EC%A0%95%EB%A6%AC|링크]])]

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