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라그랑주 정리

최근 수정 시각 : 2023-04-18 20:27:23 | 조회수 : 40
라그랑주 정리(Lagrange's theorem)란 군론의 정리 중 하나로 유한군의 부분군의 위수를 결정해주는 정리 중 하나이다. 특히, 이 정리는 군론의 위수를 완벽하게 결정하며 몫군이 무슨 의미를 가지는지 설명해줄 뿐 아니라 부분군의 갯수를 결정해주기도 한다.

목차

1. 진술
2. 증명의 개요
3. 예제
4. 무한군에 대한 라그랑주 정리
5. 영상

1. 진술 ✎ ⊖

G가 유한군이고 H가 G의 부분군이라고 하자. 그러면 H의 위수는 G의 위수를 나누게 된다.

2. 증명의 개요 ✎ ⊖

먼저 우리는 다음을 보자.

G=\\displaystyle\\bigcup_{g\\in G}gH


그리고 자명하게 모든 g,h∈G에 대해서 gH와 hH의 위수는 같다. 그리고 gH와 hH는 서로 같거나 또는 서로소이므로

G=\\displaystyle\\bigsqcup_{g\\in G}gH


가 되고 증명이 끝난다.

3. 예제 ✎ ⊖

  • 위수가 5 이하인 모든 군은 아벨 군이다.
  • H가 G의 정규부분군이면 G/H의 위수는 |G|/|H|가 된다.
  • p가 소수고 a가 p로 나누어지지 않는 정수일 때 ap−1≡1(modp)가 된다.(1)

4. 무한군에 대한 라그랑주 정리 ✎ ⊖

선택공리를 가정하면 무한군에 대해서도 라그랑주 정리가 성립함을 증명할 수 있다. 사실, 무한군에 대한 라그랑주 정리는 선택공리와 동치이다.

5. 영상 ✎ ⊖



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(1) 페르마의 소정리