라그랑주의 네 제곱수 정리 (편집)

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Lagrange's four-square theorem, Théorème des quatre carrés de Lagrange

임의의 자연수를 어떤 네 음이 아닌 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다는 정리이다.

== 역사 ==
디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스의 클로드 가스파르 바셰가 1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 바셰의 추측이라는 이름이 붙었다.

아드리앵마리 르장드르는 이 정리를 발전시켜 1798년 세 제곱수 정리를 내놓았다. 그의 증명은 불완전했으며, 이후 [[칼 프리드리히 가우스]]에 의해 완성되었다.

조제프루이 라그랑주가 1770년에 완전히 증명에 성공하였다.

== 진술 ==
임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 음이 아닌 정수 [math(x_1,x_2,x_3,x_4)]가 존재하여 [math(n=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)]이 성립한다.

== 증명 ==
[math(n=1)]인 경우 [math(x_1=1, x_2=x_3=x_4=0)]으로 존재한다.

또한

[math((x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)]
[math(\begin{cases}z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\\z_2=x_1y_2-x_2y_1-x_3y_4+x_4y_3\\z_3=x_1y_3-x_3y_1+x_2y_4-x_4y_2\\z_4=x_1y_4-x_4y_1-x_2y_3+x_3y_2\end{cases})]

이므로 임의의 자연수 [math(n)] 대신 임의의 소수 [math(p)]에 대해 본 명제를 증명해도 충분하다.

두 집합 [math(\{a^2 \mid a=0,1,\cdots,\frac{p-1}{2}\},\ \{-b^2-1 \mid b=0,1,\cdots,\frac{p-1}{2}\})]를 생각하자. 각 집합 내에서 원소들은 [math(\operatorname{mod}\ p)]에 대해 합동이 아니며, [math(\frac{p+1}{2})]개의 원소를 포함하고 있으므로 두 집합의 교집합은 [math(\varnothing)]이 아니다.

따라서 다음이 성립하는 [math(a,b \in \{0,1,\cdots,\frac{p-1}{2}\})]가 존재한다.

[math(a^2 \equiv -b^2-1\ (\operatorname{mod}\ p)\\a^2+b^2+1^2+0^2 \equiv 0\ (\operatorname{mod}\ p))]

그러므로 [math(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=np)]인 음이 아닌 정수 [math(x_1,x_2,x_3,x_4)]와 자연수 [math(n)]이 존재한다. 이러한 [math(n)] 중 최솟값을 [math(m)]이라 하자. 이제 [math(m=1)]임을 보이면 증명이 끝난다.

[math(m>1)]이라고 가정하자. [math(x_i \equiv y_i\ (\operatorname{mod}\ m),\ |y_i| \leq \frac{m}{2})]인 [math(y_i \in \Bbb{Z},\ i=1,2,3,4)]를 잡을 수 있다.

[math(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2 \equiv x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 \equiv 0\ (\operatorname{mod}\ m))]이므로 [math(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=mr)]인 [math(r \in \Bbb{N}_0)]가 존재한다.

[math(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2 \leq 4\left(\frac{m}{2}\right)^2=m^2)]이므로 [math(0 \leq r \leq m)]이다.

[math(r=0,m)]일 경우 [math(mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 \equiv 0\ (\operatorname{mod}\ m^2))]에서 [math(m|p)]가 된다. 이는 [math(p)]가 소수임에 모순이다. 따라서 [math(1 \leq r<m)]이다.

이제
[math((x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)]
[math(\begin{cases}z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\\z_2=x_1y_2-x_2y_1-x_3y_4+x_4y_3\\z_3=x_1y_3-x_3y_1+x_2y_4-x_4y_2\\z_4=x_1y_4-x_4y_1-x_2y_3+x_3y_2\end{cases})]

를 이용하면 [math(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2=m^2pr)]을 얻는데, [math(z_1,z_2,z_3,z_4)]는 위의 식에 의해 [math(m)]의 배수이므로 [math(z_i=mw_i,\ i=1,2,3,4)]라고 하면 [math(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=pr)]가 된다. [math(r<m)]이므로 이는 [math(m)]의 최소성에 모순이다. 따라서 [math(m=1)]이며, [math(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=p)]인 [math(x_i \in \Bbb{N}_0,\ i=1,2,3,4)]가 존재한다.

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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