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Lagrange's four-square theorem, Théorème des quatre carrés de Lagrange
임의의 자연수를 어떤 네 음이 아닌 정수의 제곱의 합으로 나타낼 수 있다는 정리이다.
1. 역사 ✎ ⊖
디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스의 클로드 가스파르 바셰가 1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 바셰의 추측이라는 이름이 붙었다.
아드리앵마리 르장드르는 이 정리를 발전시켜 1798년 세 제곱수 정리를 내놓았다. 그의 증명은 불완전했으며, 이후 칼 프리드리히 가우스에 의해 완성되었다.
조제프루이 라그랑주가 1770년에 완전히 증명에 성공하였다.
아드리앵마리 르장드르는 이 정리를 발전시켜 1798년 세 제곱수 정리를 내놓았다. 그의 증명은 불완전했으며, 이후 칼 프리드리히 가우스에 의해 완성되었다.
조제프루이 라그랑주가 1770년에 완전히 증명에 성공하였다.
2. 진술 ✎ ⊖
임의의 자연수 n에 대하여 음이 아닌 정수 x_1,x_2,x_3,x_4가 존재하여 n=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2이 성립한다.
3. 증명 ✎ ⊖
n=1인 경우 x_1=1, x_2=x_3=x_4=0으로 존재한다.
또한
(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2
\\begin{cases}z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\\\\z_2=x_1y_2-x_2y_1-x_3y_4+x_4y_3\\\\z_3=x_1y_3-x_3y_1+x_2y_4-x_4y_2\\\\z_4=x_1y_4-x_4y_1-x_2y_3+x_3y_2\\end{cases}
이므로 임의의 자연수 n 대신 임의의 소수 p에 대해 본 명제를 증명해도 충분하다.
두 집합 \\{a^2 \\mid a=0,1,\\cdots,\\frac{p-1}{2}\\},\\ \\{-b^2-1 \\mid b=0,1,\\cdots,\\frac{p-1}{2}\\}를 생각하자. 각 집합 내에서 원소들은 \\operatorname{mod}\\ p에 대해 합동이 아니며, \\frac{p+1}{2}개의 원소를 포함하고 있으므로 두 집합의 교집합은 \\varnothing이 아니다.
따라서 다음이 성립하는 a,b \\in \\{0,1,\\cdots,\\frac{p-1}{2}\\}가 존재한다.
a^2 \\equiv -b^2-1\\ (\\operatorname{mod}\\ p)\\\\a^2+b^2+1^2+0^2 \\equiv 0\\ (\\operatorname{mod}\\ p)
그러므로 x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=np인 음이 아닌 정수 x_1,x_2,x_3,x_4와 자연수 n이 존재한다. 이러한 n 중 최솟값을 m이라 하자. 이제 m=1임을 보이면 증명이 끝난다.
m>1이라고 가정하자. x_i \\equiv y_i\\ (\\operatorname{mod}\\ m),\\ |y_i| \\leq \\frac{m}{2}인 y_i \\in \\Bbb{Z},\\ i=1,2,3,4를 잡을 수 있다.
y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2 \\equiv x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 \\equiv 0\\ (\\operatorname{mod}\\ m)이므로 y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=mr인 r \\in \\Bbb{N}_0가 존재한다.
y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2 \\leq 4\\left(\\frac{m}{2}\\right)^2=m^2이므로 0 \\leq r \\leq m이다.
r=0,m일 경우 mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 \\equiv 0\\ (\\operatorname{mod}\\ m^2)에서 m|p가 된다. 이는 p가 소수임에 모순이다. 따라서 1 \\leq r<m이다.
이제
(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2
\\begin{cases}z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\\\\z_2=x_1y_2-x_2y_1-x_3y_4+x_4y_3\\\\z_3=x_1y_3-x_3y_1+x_2y_4-x_4y_2\\\\z_4=x_1y_4-x_4y_1-x_2y_3+x_3y_2\\end{cases}
를 이용하면 z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2=m^2pr을 얻는데, z_1,z_2,z_3,z_4는 위의 식에 의해 m의 배수이므로 z_i=mw_i,\\ i=1,2,3,4라고 하면 w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=pr가 된다. r<m이므로 이는 m의 최소성에 모순이다. 따라서 m=1이며, x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=p인 x_i \\in \\Bbb{N}_0,\\ i=1,2,3,4가 존재한다.
또한
(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2
\\begin{cases}z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\\\\z_2=x_1y_2-x_2y_1-x_3y_4+x_4y_3\\\\z_3=x_1y_3-x_3y_1+x_2y_4-x_4y_2\\\\z_4=x_1y_4-x_4y_1-x_2y_3+x_3y_2\\end{cases}
이므로 임의의 자연수 n 대신 임의의 소수 p에 대해 본 명제를 증명해도 충분하다.
두 집합 \\{a^2 \\mid a=0,1,\\cdots,\\frac{p-1}{2}\\},\\ \\{-b^2-1 \\mid b=0,1,\\cdots,\\frac{p-1}{2}\\}를 생각하자. 각 집합 내에서 원소들은 \\operatorname{mod}\\ p에 대해 합동이 아니며, \\frac{p+1}{2}개의 원소를 포함하고 있으므로 두 집합의 교집합은 \\varnothing이 아니다.
따라서 다음이 성립하는 a,b \\in \\{0,1,\\cdots,\\frac{p-1}{2}\\}가 존재한다.
a^2 \\equiv -b^2-1\\ (\\operatorname{mod}\\ p)\\\\a^2+b^2+1^2+0^2 \\equiv 0\\ (\\operatorname{mod}\\ p)
그러므로 x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=np인 음이 아닌 정수 x_1,x_2,x_3,x_4와 자연수 n이 존재한다. 이러한 n 중 최솟값을 m이라 하자. 이제 m=1임을 보이면 증명이 끝난다.
m>1이라고 가정하자. x_i \\equiv y_i\\ (\\operatorname{mod}\\ m),\\ |y_i| \\leq \\frac{m}{2}인 y_i \\in \\Bbb{Z},\\ i=1,2,3,4를 잡을 수 있다.
y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2 \\equiv x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 \\equiv 0\\ (\\operatorname{mod}\\ m)이므로 y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=mr인 r \\in \\Bbb{N}_0가 존재한다.
y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2 \\leq 4\\left(\\frac{m}{2}\\right)^2=m^2이므로 0 \\leq r \\leq m이다.
r=0,m일 경우 mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 \\equiv 0\\ (\\operatorname{mod}\\ m^2)에서 m|p가 된다. 이는 p가 소수임에 모순이다. 따라서 1 \\leq r<m이다.
이제
(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2)=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2
\\begin{cases}z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\\\\z_2=x_1y_2-x_2y_1-x_3y_4+x_4y_3\\\\z_3=x_1y_3-x_3y_1+x_2y_4-x_4y_2\\\\z_4=x_1y_4-x_4y_1-x_2y_3+x_3y_2\\end{cases}
를 이용하면 z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2=m^2pr을 얻는데, z_1,z_2,z_3,z_4는 위의 식에 의해 m의 배수이므로 z_i=mw_i,\\ i=1,2,3,4라고 하면 w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=pr가 된다. r<m이므로 이는 m의 최소성에 모순이다. 따라서 m=1이며, x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=p인 x_i \\in \\Bbb{N}_0,\\ i=1,2,3,4가 존재한다.
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