라마누잔의 추측 (편집)

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Ramanujan conjecture

정수론에서 모듈러 형식의 발전에 큰 영향을 미쳤던 정리이다.

== 진술 ==
먼저 다음을 정의하자.

[math( \eta (s) := q \prod^{\infty}_{n = 1} {(1 - {q}^{n})}^{12} )]

여기에서 [math( q = \exp (2 \pi i s) )]라고 하자. 그러면 이것은 cusp form이고 weight 12가 된다. 그리고 이것을 전개할 수 있는데 다음과 같이 표기하자.

[math( \eta (s) = \sum^{\infty}_{n = 1} \tau (n) {q}^{n} )]

이제 [math( \tau (n) )]을 '''라마누잔의 타우 함수'''(Ramanujan tau function)라고 하자.

라마누잔의 추측은 다음 세 가지의 정리를 말한다.

* [math( \tau )]는 곱셈적 함수이다. 그러니까 [math( m )]과 [math( n )]이 서로소면 [math( \tau (mn) = \tau (m) \tau (n) )]이다.
* [math( k \geq 2 )]가 정수이고 [math( p )]가 소수이면 [math( \tau ({p}^{k})=\tau (p) \tau({p}^{k-1}) - {p}^{11} \tau({p}^{k-2}) )]이다.
* 모든 소수 [math( p )]에 대해서 [math(|\tau(p)| \le 2{p}^{\frac{11}{2}} )]이다.

이 세 정리 중에서 (i)과 (ii)은 Hecke operator로 쉽게 증명할 수 있지만 (iii)은 훨씬 더 어려운 étale cohomology를 이용하고 나서야 증명되었다.

== 역사 ==
라마누잔은 1916년 자신의 논문에서 라마누잔의 추측을 발표했는데, 라마누잔이 그렇듯이 엄밀한 증명을 하지 않았다. 처음 두 정리는 1917년 모델에 의해서 손쉽게 증명되었지만, 세 번째 정리는 여전히 미해결으로 남아있게 되었다. 1973년에 베이유 추측이 참이라면 라마누잔 추측 역시 참이라는 사실이 증명되었으며, 1974년에 수학자 Pierre Deligne가 étale cohomology를 이용하여 증명하였다.

==일반화==
이것은 임의의 weight [math( k )]의 cusp form에 대해서 일반화될 수 있다. [math( \Gamma \in \text{SL} (2 , \Bbb{Z}) )]가

[math( \Gamma (N) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod N \right \} )]

꼴의 군을 부분군으로 가지는 elliptic modular group이라고 하자. 그리고 [math( \Gamma )]의 모든 cusp form with weight [math( k )]들의 모임을 [math( {S}_{k} (\Gamma) )]라고 한다면 [math( {S}_{k} (\Gamma) )]는 finite dimension을 가지는 벡터공간가 되고 [math( f \in {S}_{k} (\Gamma) )]일 때 다음 푸리에 급수를 가진다.

[math( f (s) = \sum^{\infty}_{n = 1} {a}_{n} {q}^{n} )]

여기에서 [math( q = \exp \displaystyle \frac{2 \pi i s}{N} )]이다. 그러면 [math( |{a}_{n}| {\ll}_{\varepsilon} {n}^{\frac{k-1}{2}} )]가 성립한다. 이것을 '''라마누잔-페터슨 추측'''라고 하며 역시 증명되어 있다.

== 증명의 개요 ==
먼저 [math( \Gamma )]를 다음과 같이 잡자.

[math( \Gamma = {\Gamma}_{1} (N) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod N \right \} )]

이 [math(\gamma)]에 대해서만 증명해도 라마누잔의 추측이 증명된다. 그리고 이것은 [math( N \ge 3 )]이란 조건을 줬을 때 upper half plane에서 free하게 act할 수 있게 된다.

여기에서는 [math( k \ge 2)]일 때만 증명할 것이다. 이제 Hecke operator를 다음과 같이 정의하자.

[math( (T (n) f) (s) := {n}^{\frac{k}{2} - 1} \sum_{A \in \Gamma \backslash \mathcal{O} (N , n)} (\det{A})^{\frac{k}{2}} (c s + d)^{- k} f \left ( \frac{a s + b}{c s + d} \right ) )]

여기에서

[math( \mathcal{O} (N , n) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & n \end{pmatrix} \right \} )]

이다. 이제

[math( {\Gamma}_{0} (N) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & * \end{pmatrix} \pmod N \right \} )]

이라고 하면 [math( {\Gamma}_{1} (N) )]은 [math( {\Gamma}_{0} (N) )]의 normal subgroup이 되며 다음을 자연스럽게 정의할 수 있게 된다. [math( {\Gamma}_{0} (N) / {\Gamma}_{1} (N) \to {(\Bbb{Z} / N \Bbb{Z})}^{\times} )] 이것은 matrix에서 1열 1행의 원소만 따버리는 morphism이다. 이것은 [math( {S}_{k} ({\Gamma}_{1} (N)) )]에 잘 act한다. 이제 [math( n )]과 [math( N )]이 서로소라고 하면

[math( I(n) : {S}_{k} ({\Gamma}_{1} (N)) \to {S}_{k} ({\Gamma}_{1} (N)) )]

라는 morphism을 만들 수 있게 되고

[math( \det (1 - T (p) t + I (p) {p}^{k - 1} {t}^{2}) )]

이 algebraic integer인 해를 갖고 그 절댓값이 [math({p}^{\frac{k - 1}{2}})]라면 라마누잔-페터슨의 추측이 참이 된다. 그리고 이는 코호몰로지를 이용하여 증명할 수 있다.

== 영상 ==
[youtube(8Z0ZUX8HKCM)]
 
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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