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Ramanujan conjecture
정수론에서 모듈러 형식의 발전에 큰 영향을 미쳤던 정리이다.
1. 진술 ✎ ⊖
먼저 다음을 정의하자.
\\eta (s) := q \\prod^{\\infty}_{n = 1} {(1 - {q}^{n})}^{12}
여기에서 q = \\exp (2 \\pi i s) 라고 하자. 그러면 이것은 cusp form이고 weight 12가 된다. 그리고 이것을 전개할 수 있는데 다음과 같이 표기하자.
\\eta (s) = \\sum^{\\infty}_{n = 1} \\tau (n) {q}^{n}
이제 \\tau (n) 을 라마누잔의 타우 함수(Ramanujan tau function)라고 하자.
라마누잔의 추측은 다음 세 가지의 정리를 말한다.
이 세 정리 중에서 (i)과 (ii)은 Hecke operator로 쉽게 증명할 수 있지만 (iii)은 훨씬 더 어려운 étale cohomology를 이용하고 나서야 증명되었다.
\\eta (s) := q \\prod^{\\infty}_{n = 1} {(1 - {q}^{n})}^{12}
여기에서 q = \\exp (2 \\pi i s) 라고 하자. 그러면 이것은 cusp form이고 weight 12가 된다. 그리고 이것을 전개할 수 있는데 다음과 같이 표기하자.
\\eta (s) = \\sum^{\\infty}_{n = 1} \\tau (n) {q}^{n}
이제 \\tau (n) 을 라마누잔의 타우 함수(Ramanujan tau function)라고 하자.
라마누잔의 추측은 다음 세 가지의 정리를 말한다.
- \\tau 는 곱셈적 함수이다. 그러니까 m 과 n 이 서로소면 \\tau (mn) = \\tau (m) \\tau (n) 이다.
- k \\geq 2 가 정수이고 p 가 소수이면 \\tau ({p}^{k})=\\tau (p) \\tau({p}^{k-1}) - {p}^{11} \\tau({p}^{k-2}) 이다.
- 모든 소수 p 에 대해서 |\\tau(p)| \\le 2{p}^{\\frac{11}{2}} 이다.
이 세 정리 중에서 (i)과 (ii)은 Hecke operator로 쉽게 증명할 수 있지만 (iii)은 훨씬 더 어려운 étale cohomology를 이용하고 나서야 증명되었다.
2. 역사 ✎ ⊖
라마누잔은 1916년 자신의 논문에서 라마누잔의 추측을 발표했는데, 라마누잔이 그렇듯이 엄밀한 증명을 하지 않았다. 처음 두 정리는 1917년 모델에 의해서 손쉽게 증명되었지만, 세 번째 정리는 여전히 미해결으로 남아있게 되었다. 1973년에 베이유 추측이 참이라면 라마누잔 추측 역시 참이라는 사실이 증명되었으며, 1974년에 수학자 Pierre Deligne가 étale cohomology를 이용하여 증명하였다.
3. 일반화 ✎ ⊖
이것은 임의의 weight k 의 cusp form에 대해서 일반화될 수 있다. \\Gamma \\in \\text{SL} (2 , \\Bbb{Z}) 가
\\Gamma (N) := \\left \\{ A \\middle | A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\equiv \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} \\pmod N \\right \\}
꼴의 군을 부분군으로 가지는 elliptic modular group이라고 하자. 그리고 \\Gamma 의 모든 cusp form with weight k 들의 모임을 {S}_{k} (\\Gamma) 라고 한다면 {S}_{k} (\\Gamma) 는 finite dimension을 가지는 벡터공간가 되고 f \\in {S}_{k} (\\Gamma) 일 때 다음 푸리에 급수를 가진다.
f (s) = \\sum^{\\infty}_{n = 1} {a}_{n} {q}^{n}
여기에서 q = \\exp \\displaystyle \\frac{2 \\pi i s}{N} 이다. 그러면 |{a}_{n}| {\\ll}_{\\varepsilon} {n}^{\\frac{k-1}{2}} 가 성립한다. 이것을 라마누잔-페터슨 추측라고 하며 역시 증명되어 있다.
\\Gamma (N) := \\left \\{ A \\middle | A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\equiv \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} \\pmod N \\right \\}
꼴의 군을 부분군으로 가지는 elliptic modular group이라고 하자. 그리고 \\Gamma 의 모든 cusp form with weight k 들의 모임을 {S}_{k} (\\Gamma) 라고 한다면 {S}_{k} (\\Gamma) 는 finite dimension을 가지는 벡터공간가 되고 f \\in {S}_{k} (\\Gamma) 일 때 다음 푸리에 급수를 가진다.
f (s) = \\sum^{\\infty}_{n = 1} {a}_{n} {q}^{n}
여기에서 q = \\exp \\displaystyle \\frac{2 \\pi i s}{N} 이다. 그러면 |{a}_{n}| {\\ll}_{\\varepsilon} {n}^{\\frac{k-1}{2}} 가 성립한다. 이것을 라마누잔-페터슨 추측라고 하며 역시 증명되어 있다.
4. 증명의 개요 ✎ ⊖
먼저 \\Gamma 를 다음과 같이 잡자.
\\Gamma = {\\Gamma}_{1} (N) := \\left \\{ A \\middle | A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\equiv \\begin{pmatrix} 1 & * \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} \\pmod N \\right \\}
이 \\gamma에 대해서만 증명해도 라마누잔의 추측이 증명된다. 그리고 이것은 N \\ge 3 이란 조건을 줬을 때 upper half plane에서 free하게 act할 수 있게 된다.
여기에서는 k \\ge 2일 때만 증명할 것이다. 이제 Hecke operator를 다음과 같이 정의하자.
(T (n) f) (s) := {n}^{\\frac{k}{2} - 1} \\sum_{A \\in \\Gamma \\backslash \\mathcal{O} (N , n)} (\\det{A})^{\\frac{k}{2}} (c s + d)^{- k} f \\left ( \\frac{a s + b}{c s + d} \\right )
여기에서
\\mathcal{O} (N , n) := \\left \\{ A \\middle | A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\equiv \\begin{pmatrix} 1 & * \\\\ 0 & n \\end{pmatrix} \\right \\}
이다. 이제
{\\Gamma}_{0} (N) := \\left \\{ A \\middle | A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\equiv \\begin{pmatrix} * & * \\\\ 0 & * \\end{pmatrix} \\pmod N \\right \\}
이라고 하면 {\\Gamma}_{1} (N) 은 {\\Gamma}_{0} (N) 의 normal subgroup이 되며 다음을 자연스럽게 정의할 수 있게 된다. {\\Gamma}_{0} (N) / {\\Gamma}_{1} (N) \\to {(\\Bbb{Z} / N \\Bbb{Z})}^{\\times} 이것은 matrix에서 1열 1행의 원소만 따버리는 morphism이다. 이것은 {S}_{k} ({\\Gamma}_{1} (N)) 에 잘 act한다. 이제 n 과 N 이 서로소라고 하면
I(n) : {S}_{k} ({\\Gamma}_{1} (N)) \\to {S}_{k} ({\\Gamma}_{1} (N))
라는 morphism을 만들 수 있게 되고
\\det (1 - T (p) t + I (p) {p}^{k - 1} {t}^{2})
이 algebraic integer인 해를 갖고 그 절댓값이 {p}^{\\frac{k - 1}{2}}라면 라마누잔-페터슨의 추측이 참이 된다. 그리고 이는 코호몰로지를 이용하여 증명할 수 있다.
\\Gamma = {\\Gamma}_{1} (N) := \\left \\{ A \\middle | A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\equiv \\begin{pmatrix} 1 & * \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} \\pmod N \\right \\}
이 \\gamma에 대해서만 증명해도 라마누잔의 추측이 증명된다. 그리고 이것은 N \\ge 3 이란 조건을 줬을 때 upper half plane에서 free하게 act할 수 있게 된다.
여기에서는 k \\ge 2일 때만 증명할 것이다. 이제 Hecke operator를 다음과 같이 정의하자.
(T (n) f) (s) := {n}^{\\frac{k}{2} - 1} \\sum_{A \\in \\Gamma \\backslash \\mathcal{O} (N , n)} (\\det{A})^{\\frac{k}{2}} (c s + d)^{- k} f \\left ( \\frac{a s + b}{c s + d} \\right )
여기에서
\\mathcal{O} (N , n) := \\left \\{ A \\middle | A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\equiv \\begin{pmatrix} 1 & * \\\\ 0 & n \\end{pmatrix} \\right \\}
이다. 이제
{\\Gamma}_{0} (N) := \\left \\{ A \\middle | A = \\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix} \\equiv \\begin{pmatrix} * & * \\\\ 0 & * \\end{pmatrix} \\pmod N \\right \\}
이라고 하면 {\\Gamma}_{1} (N) 은 {\\Gamma}_{0} (N) 의 normal subgroup이 되며 다음을 자연스럽게 정의할 수 있게 된다. {\\Gamma}_{0} (N) / {\\Gamma}_{1} (N) \\to {(\\Bbb{Z} / N \\Bbb{Z})}^{\\times} 이것은 matrix에서 1열 1행의 원소만 따버리는 morphism이다. 이것은 {S}_{k} ({\\Gamma}_{1} (N)) 에 잘 act한다. 이제 n 과 N 이 서로소라고 하면
I(n) : {S}_{k} ({\\Gamma}_{1} (N)) \\to {S}_{k} ({\\Gamma}_{1} (N))
라는 morphism을 만들 수 있게 되고
\\det (1 - T (p) t + I (p) {p}^{k - 1} {t}^{2})
이 algebraic integer인 해를 갖고 그 절댓값이 {p}^{\\frac{k - 1}{2}}라면 라마누잔-페터슨의 추측이 참이 된다. 그리고 이는 코호몰로지를 이용하여 증명할 수 있다.
