라마누잔의 추측 (편집) (4)

== 증명의 개요 ==
먼저 [math( \Gamma )]를 다음과 같이 잡자.

[math( \Gamma = {\Gamma}_{1} (N) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod N \right \} )]

이 [math(\gamma)]에 대해서만 증명해도 라마누잔의 추측이 증명된다. 그리고 이것은 [math( N \ge 3 )]이란 조건을 줬을 때 upper half plane에서 free하게 act할 수 있게 된다.

여기에서는 [math( k \ge 2)]일 때만 증명할 것이다. 이제 Hecke operator를 다음과 같이 정의하자.

[math( (T (n) f) (s) := {n}^{\frac{k}{2} - 1} \sum_{A \in \Gamma \backslash \mathcal{O} (N , n)} (\det{A})^{\frac{k}{2}} (c s + d)^{- k} f \left ( \frac{a s + b}{c s + d} \right ) )]

여기에서

[math( \mathcal{O} (N , n) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & n \end{pmatrix} \right \} )]

이다. 이제

[math( {\Gamma}_{0} (N) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} * & * \\ 0 & * \end{pmatrix} \pmod N \right \} )]

이라고 하면 [math( {\Gamma}_{1} (N) )]은 [math( {\Gamma}_{0} (N) )]의 normal subgroup이 되며 다음을 자연스럽게 정의할 수 있게 된다. [math( {\Gamma}_{0} (N) / {\Gamma}_{1} (N) \to {(\Bbb{Z} / N \Bbb{Z})}^{\times} )] 이것은 matrix에서 1열 1행의 원소만 따버리는 morphism이다. 이것은 [math( {S}_{k} ({\Gamma}_{1} (N)) )]에 잘 act한다. 이제 [math( n )]과 [math( N )]이 서로소라고 하면

[math( I(n) : {S}_{k} ({\Gamma}_{1} (N)) \to {S}_{k} ({\Gamma}_{1} (N)) )]

라는 morphism을 만들 수 있게 되고

[math( \det (1 - T (p) t + I (p) {p}^{k - 1} {t}^{2}) )]

이 algebraic integer인 해를 갖고 그 절댓값이 [math({p}^{\frac{k - 1}{2}})]라면 라마누잔-페터슨의 추측이 참이 된다. 그리고 이는 코호몰로지를 이용하여 증명할 수 있다.

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