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라마누잔의 추측
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1090,1849
==일반화== 이것은 임의의 weight [math( k )]의 cusp form에 대해서 일반화될 수 있다. [math( \Gamma \in \text{SL} (2 , \Bbb{Z}) )]가 [math( \Gamma (N) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod N \right \} )] 꼴의 군을 부분군으로 가지는 elliptic modular group이라고 하자. 그리고 [math( \Gamma )]의 모든 cusp form with weight [math( k )]들의 모임을 [math( {S}_{k} (\Gamma) )]라고 한다면 [math( {S}_{k} (\Gamma) )]는 finite dimension을 가지는 벡터공간가 되고 [math( f \in {S}_{k} (\Gamma) )]일 때 다음 푸리에 급수를 가진다. [math( f (s) = \sum^{\infty}_{n = 1} {a}_{n} {q}^{n} )] 여기에서 [math( q = \exp \displaystyle \frac{2 \pi i s}{N} )]이다. 그러면 [math( |{a}_{n}| {\ll}_{\varepsilon} {n}^{\frac{k-1}{2}} )]가 성립한다. 이것을 '''라마누잔-페터슨 추측'''라고 하며 역시 증명되어 있다.
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==일반화== 이것은 임의의 weight [math( k )]의 cusp form에 대해서 일반화될 수 있다. [math( \Gamma \in \text{SL} (2 , \Bbb{Z}) )]가 [math( \Gamma (N) := \left \{ A \middle | A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \pmod N \right \} )] 꼴의 군을 부분군으로 가지는 elliptic modular group이라고 하자. 그리고 [math( \Gamma )]의 모든 cusp form with weight [math( k )]들의 모임을 [math( {S}_{k} (\Gamma) )]라고 한다면 [math( {S}_{k} (\Gamma) )]는 finite dimension을 가지는 벡터공간가 되고 [math( f \in {S}_{k} (\Gamma) )]일 때 다음 푸리에 급수를 가진다. [math( f (s) = \sum^{\infty}_{n = 1} {a}_{n} {q}^{n} )] 여기에서 [math( q = \exp \displaystyle \frac{2 \pi i s}{N} )]이다. 그러면 [math( |{a}_{n}| {\ll}_{\varepsilon} {n}^{\frac{k-1}{2}} )]가 성립한다. 이것을 '''라마누잔-페터슨 추측'''라고 하며 역시 증명되어 있다.
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