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라마누잔의 추측
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== 진술 == 먼저 다음을 정의하자. [math( \eta (s) := q \prod^{\infty}_{n = 1} {(1 - {q}^{n})}^{12} )] 여기에서 [math( q = \exp (2 \pi i s) )]라고 하자. 그러면 이것은 cusp form이고 weight 12가 된다. 그리고 이것을 전개할 수 있는데 다음과 같이 표기하자. [math( \eta (s) = \sum^{\infty}_{n = 1} \tau (n) {q}^{n} )] 이제 [math( \tau (n) )]을 '''라마누잔의 타우 함수'''(Ramanujan tau function)라고 하자. 라마누잔의 추측은 다음 세 가지의 정리를 말한다. * [math( \tau )]는 곱셈적 함수이다. 그러니까 [math( m )]과 [math( n )]이 서로소면 [math( \tau (mn) = \tau (m) \tau (n) )]이다. * [math( k \geq 2 )]가 정수이고 [math( p )]가 소수이면 [math( \tau ({p}^{k})=\tau (p) \tau({p}^{k-1}) - {p}^{11} \tau({p}^{k-2}) )]이다. * 모든 소수 [math( p )]에 대해서 [math(|\tau(p)| \le 2{p}^{\frac{11}{2}} )]이다. 이 세 정리 중에서 (i)과 (ii)은 Hecke operator로 쉽게 증명할 수 있지만 (iii)은 훨씬 더 어려운 étale cohomology를 이용하고 나서야 증명되었다.
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== 진술 == 먼저 다음을 정의하자. [math( \eta (s) := q \prod^{\infty}_{n = 1} {(1 - {q}^{n})}^{12} )] 여기에서 [math( q = \exp (2 \pi i s) )]라고 하자. 그러면 이것은 cusp form이고 weight 12가 된다. 그리고 이것을 전개할 수 있는데 다음과 같이 표기하자. [math( \eta (s) = \sum^{\infty}_{n = 1} \tau (n) {q}^{n} )] 이제 [math( \tau (n) )]을 '''라마누잔의 타우 함수'''(Ramanujan tau function)라고 하자. 라마누잔의 추측은 다음 세 가지의 정리를 말한다. * [math( \tau )]는 곱셈적 함수이다. 그러니까 [math( m )]과 [math( n )]이 서로소면 [math( \tau (mn) = \tau (m) \tau (n) )]이다. * [math( k \geq 2 )]가 정수이고 [math( p )]가 소수이면 [math( \tau ({p}^{k})=\tau (p) \tau({p}^{k-1}) - {p}^{11} \tau({p}^{k-2}) )]이다. * 모든 소수 [math( p )]에 대해서 [math(|\tau(p)| \le 2{p}^{\frac{11}{2}} )]이다. 이 세 정리 중에서 (i)과 (ii)은 Hecke operator로 쉽게 증명할 수 있지만 (iii)은 훨씬 더 어려운 étale cohomology를 이용하고 나서야 증명되었다.
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