롤의 정리 (편집) - 시드위키

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Rolle's Theorem

미셸 롤이 발견한 정리이다. 이로써 평균값 정리를 도출해 낼 수 있다.

== 진술 ==
함수 [math(f)]가 폐구간 [math([a, b])]에서 연속이고, 개구간 [math((a, b))]에서 미분 가능하며 [math(f(a)=f(b))]일 때, [math(f'(c)=0)]인 [math(c)]가 개구간 [math((a, b))] 사이에 적어도 하나 존재한다.

이는 평균값 정리를 증명하는데 쓰이지만, 평균값 정리의 한 경우이다. 참으로 신기한 일이 아닐 수 없다. ~~그런 경우가 그렇게 적은 건 아니다.~~

== 증명 ==
두 가지 경우로 나누어 생각하자.

1. [math(f(x))]는 상수함수
* 이 경우 개구간 안의 모든 [math(c)]에 대해 [math(f'(c)=0)]이다.
2. [math(f(x))]는 상수함수가 아닌 함수
* 이 경우 최대·최소 정리에 의해 [math(f(x))]의 [math((a, b))]에는 최댓값이나 최솟값이 존재한다.

2-1. [math(x=c)]에서 최댓값 [math(f(c))]를 갖는 경우
* [math(a<c+h<b)]인 [math(h)]에 대하여 [math(c)]의 좌극한과 우극한은 다음과 같다.
* [math(\displaystyle \lim_{h\to 0^+} \frac{f(c+h)-f(c)} h \leq 0, \ \lim_{h\to 0^-} \frac{f(c+h)-f(c)} h \geq 0\ \ \ (\because f(c)\geq f(c+h), f(c)= \max\{f(x)\}))]
* 이 때 [math(f(x))]는 개구간 [math((a, b))]에서 미분 가능하므로 연속이고, 좌극한과 우극한 값이 같다. 따라서 [math(\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)} h = f'(c) = 0)]이다.

2-2. [math(x=c)]에서 최솟값 [math(f(c))]를 갖는 경우
* [math(a<c+h<b)]인 [math(h)]에 대하여 [math(c)]의 좌극한과 우극한은 다음과 같다.
* [math(\displaystyle \lim_{h\to 0^+} \frac{f(c+h)-f(c)} h \geq 0, \ \lim_{h\to 0^-} \frac{f(c+h)-f(c)} h \leq 0\ \ \ (\because f(c)\leq f(c+h), f(c)= \min\{f(x)\}))]
* 이 때 [math(f(x))]는 개구간 [math((a, b))]에서 미분 가능하므로 연속이고, 좌극한과 우극한 값이 같다. 따라서 [math(\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)} h = f'(c) = 0)]이다. ■

증명을 할 때, 이를 이용하여 증명을 하는 평균값 정리를 쓰면 닭과 달걀 게임 꼴이 되어 안 된다.

== 트리비아 ==
이 법칙은 리그 오브 레전드와는 아무런 관계가 없다. 그래서 가끔 수학 공부를 하던 롤유저들이 롤의 정리를 보고 흥분을 했다가 급실망을 한다 카더라.

== 영상 ==
[youtube(deWXHd-ADFE)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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