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Rolle's Theorem
미셸 롤이 발견한 정리이다. 이로써 평균값 정리를 도출해 낼 수 있다.
1. 진술 ✎ ⊖
함수 f가 폐구간 [a, b]에서 연속이고, 개구간 (a, b)에서 미분 가능하며 f(a)=f(b)일 때, f'(c)=0인 c가 개구간 (a, b) 사이에 적어도 하나 존재한다.
이는 평균값 정리를 증명하는데 쓰이지만, 평균값 정리의 한 경우이다. 참으로 신기한 일이 아닐 수 없다.그런 경우가 그렇게 적은 건 아니다.
이는 평균값 정리를 증명하는데 쓰이지만, 평균값 정리의 한 경우이다. 참으로 신기한 일이 아닐 수 없다.
2. 증명 ✎ ⊖
두 가지 경우로 나누어 생각하자.
1. f(x)는 상수함수
2-1. x=c에서 최댓값 f(c)를 갖는 경우
2-2. x=c에서 최솟값 f(c)를 갖는 경우
증명을 할 때, 이를 이용하여 증명을 하는 평균값 정리를 쓰면 닭과 달걀 게임 꼴이 되어 안 된다.
1. f(x)는 상수함수
- 이 경우 개구간 안의 모든 c에 대해 f'(c)=0이다.
- 이 경우 최대·최소 정리에 의해 f(x)의 (a, b)에는 최댓값이나 최솟값이 존재한다.
2-1. x=c에서 최댓값 f(c)를 갖는 경우
- a<c+h<b인 h에 대하여 c의 좌극한과 우극한은 다음과 같다.
- \\displaystyle \\lim_{h\\to 0^+} \\frac{f(c+h)-f(c)} h \\leq 0, \\ \\lim_{h\\to 0^-} \\frac{f(c+h)-f(c)} h \\geq 0\\ \\ \\ (\\because f(c)\\geq f(c+h), f(c)= \\max\\{f(x)\\})
- 이 때 f(x)는 개구간 (a, b)에서 미분 가능하므로 연속이고, 좌극한과 우극한 값이 같다. 따라서 \\displaystyle\\lim_{h\\to 0} \\frac{f(c+h)-f(c)} h = f'(c) = 0이다.
2-2. x=c에서 최솟값 f(c)를 갖는 경우
- a<c+h<b인 h에 대하여 c의 좌극한과 우극한은 다음과 같다.
- \\displaystyle \\lim_{h\\to 0^+} \\frac{f(c+h)-f(c)} h \\geq 0, \\ \\lim_{h\\to 0^-} \\frac{f(c+h)-f(c)} h \\leq 0\\ \\ \\ (\\because f(c)\\leq f(c+h), f(c)= \\min\\{f(x)\\})
- 이 때 f(x)는 개구간 (a, b)에서 미분 가능하므로 연속이고, 좌극한과 우극한 값이 같다. 따라서 \\displaystyle\\lim_{h\\to 0} \\frac{f(c+h)-f(c)} h = f'(c) = 0이다. ■
증명을 할 때, 이를 이용하여 증명을 하는 평균값 정리를 쓰면 닭과 달걀 게임 꼴이 되어 안 된다.
3. 트리비아 ✎ ⊖
이 법칙은 리그 오브 레전드와는 아무런 관계가 없다. 그래서 가끔 수학 공부를 하던 롤유저들이 롤의 정리를 보고 흥분을 했다가 급실망을 한다 카더라.
