롤의 정리

최근 수정 시각 : 2023-04-28 22:33:57 | 조회수 : 28

Rolle's Theorem

미셸 롤이 발견한 정리이다. 이로써 평균값 정리를 도출해 낼 수 있다.

목차

1. 진술
2. 증명
3. 트리비아
4. 영상

1. 진술

함수 ff가 폐구간 [a,b][a, b]에서 연속이고, 개구간 (a,b)(a, b)에서 미분 가능하며 f(a)=f(b)f(a)=f(b)일 때, f(c)=0f'(c)=0cc가 개구간 (a,b)(a, b) 사이에 적어도 하나 존재한다.

이는 평균값 정리를 증명하는데 쓰이지만, 평균값 정리의 한 경우이다. 참으로 신기한 일이 아닐 수 없다. 그런 경우가 그렇게 적은 건 아니다.

2. 증명

두 가지 경우로 나누어 생각하자.

1. f(x)f(x)는 상수함수
  • 이 경우 개구간 안의 모든 cc에 대해 f(c)=0f'(c)=0이다.
2. f(x)f(x)는 상수함수가 아닌 함수
  • 이 경우 최대·최소 정리에 의해 f(x)f(x)(a,b)(a, b)에는 최댓값이나 최솟값이 존재한다.

2-1. x=cx=c에서 최댓값 f(c)f(c)를 갖는 경우
  • a<c+h<ba<c+h<bhh에 대하여 cc의 좌극한과 우극한은 다음과 같다.
  • limh0+f(c+h)f(c)h0, limh0f(c+h)f(c)h0   (f(c)f(c+h),f(c)=max{f(x)})\displaystyle \lim_{h\to 0^+} \frac{f(c+h)-f(c)} h \leq 0, \ \lim_{h\to 0^-} \frac{f(c+h)-f(c)} h \geq 0\ \ \ (\because f(c)\geq f(c+h), f(c)= \max\{f(x)\})
  • 이 때 f(x)f(x)는 개구간 (a,b)(a, b)에서 미분 가능하므로 연속이고, 좌극한과 우극한 값이 같다. 따라서 limh0f(c+h)f(c)h=f(c)=0\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)} h = f'(c) = 0이다.

2-2. x=cx=c에서 최솟값 f(c)f(c)를 갖는 경우
  • a<c+h<ba<c+h<bhh에 대하여 cc의 좌극한과 우극한은 다음과 같다.
  • limh0+f(c+h)f(c)h0, limh0f(c+h)f(c)h0   (f(c)f(c+h),f(c)=min{f(x)})\displaystyle \lim_{h\to 0^+} \frac{f(c+h)-f(c)} h \geq 0, \ \lim_{h\to 0^-} \frac{f(c+h)-f(c)} h \leq 0\ \ \ (\because f(c)\leq f(c+h), f(c)= \min\{f(x)\})
  • 이 때 f(x)f(x)는 개구간 (a,b)(a, b)에서 미분 가능하므로 연속이고, 좌극한과 우극한 값이 같다. 따라서 limh0f(c+h)f(c)h=f(c)=0\displaystyle\lim_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)} h = f'(c) = 0이다. ■

증명을 할 때, 이를 이용하여 증명을 하는 평균값 정리를 쓰면 닭과 달걀 게임 꼴이 되어 안 된다.

3. 트리비아

이 법칙은 리그 오브 레전드와는 아무런 관계가 없다. 그래서 가끔 수학 공부를 하던 롤유저들이 롤의 정리를 보고 흥분을 했다가 급실망을 한다 카더라.

4. 영상



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