뢰벤하임-스콜렘 정리 (편집)

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Löwenheim–Skolem theorem

수리논리학에서 뢰벤하임-스콜렘 정리는 일차 이론이 무한 모형의 농도를 통제할 수 없다는 내용의 정리이다.

== 진술 ==
뢰벤하임과 스콜렘이 1915년에 처음 증명한 명제는 다음과 같다.

* [math(\Gamma)]가 가산 언어 상의 충족가능한 논리식들의 집합이면 [math(\Gamma)]는 어떤 가산 구조 위에서 충족 가능하다.
* [math(\Sigma)]가 가산 언어 상의 문장들의 집합이라 하자. 만약 [math(\Sigma)]가 모형을 갖는다면 [math(\Sigma)]는 가산 모형을 갖는다.

이를 좀 더 일반화시킨 명제는 다음과 같다.

* [math(\Gamma)]가 농도 [math(\lambda)]인 언어 상의 충족가능한 논리식들의 집합이면 [math(\Gamma)]는 농도가 [math(\le\lambda)]인 어떤 구조 위에서 충족 가능하다.
* [math(\Sigma)]가 농도 [math(\lambda)]인 언어 상의 문장들의 집합이라 하자. 만약 [math(\Sigma)]가 모형을 갖는다면 [math(\Sigma)]는 농도가 [math(\le\lambda)]인 모형을 갖는다.

타르스키는 이의 '반대의 경우', 즉 가산 모형으로부터 비가산 모형의 존재성이 이끌어 질 수 있음을 보였다.

* [math(\Gamma)]가 [math(\lambda)]인 언어 상의 논리식들의 집합이고 [math(\Gamma)]가 어떤 무한 구조 상에서 충족된다면 임의의 [math(\kappa\ge\lambda)]인 [math(\kappa)]에 대해 [math(\Gamma)]가 충족가능한 농도 [math(\kappa)]인 구조가 존재한다.

== 참고 문헌 ==
* Herbert B. Enderton (2001), A Mathematical Introduction to Logic 2nd, Harcourt/Academic Press.

== 영상 ==
[youtube(KkYgQr1dg5M)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]

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